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manière qu’elles soient nulles lorsque $i=0,$ seront

$f'(x+i)-f'(x)-if''(x)-{\frac {i^{2}}{2}}f'''(p),$

${\frac {i^{2}}{2}}f'''(q)-f'(x+i)+f'(x)+if''(x),$

lesquelles seront par conséquent aussi toujours positives et finies, en vertu du même principe.

Enfin, regardant encore ces nouvelles quantités comme des fonctions dérivées relatives à $i,$ leurs fonctions primitives, prises de manière qu’elles soient nulles lorsque $i=0,$ seront

$f(x+i)-f(x)-if'(x)-{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)-{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(p),$

${\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(q)-f(x+i)+f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x).$

Ces quantités seront donc encore positives par le même principe ; ainsi on aura

${\begin{aligned}&f(x+i)-f(x)-if'(x)-{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)-{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(p)>0,\\&f(x)-f(x+i)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(q)>0\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}f(x+i)>&f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(p),\\f(x+i)<&f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(q),\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Nous avons supposé dans ces développements $i$ positif ; si $i$ était négatif, ou bien si l’on changeait $i$ en $-i,$ alors on trouverait pour premières limites de $f(x-i)$

${\begin{aligned}f(x-i)<&f(x)-if'(p),\\f(x-i)>&f(x)-if'(q).\end{aligned}}$