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On trouverait ensuite pour secondes limites

${\begin{aligned}f(x-i)<&f(x)-if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(p),\\f(x-i)>&f(x)-if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(q),\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

Donc, en général, la quantité $f(x+i),$ soit que $i$ soit positif ou négatif, sera toujours renfermée entre ces deux-ci :

${\begin{aligned}&f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+\ldots +{\frac {i^{\mu }}{2.3\ldots \mu }}f^{\mu }(p),\\&f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+\ldots +{\frac {i^{\mu }}{2.3\ldots \mu }}f^{\mu }(q),\end{aligned}}$

en prenant pour $p$ et $q$ les valeurs de $x+i,$ qui répondent à la plus petite et à la plus grande des valeurs de $f^{\mu }(x+i),$ dans toute l’étendue de $i,$ depuis $i=0,$ pourvu que les deux quantités $f^{\mu }(p)$ et $f^{\mu }(q)$ ne soient pas infinies.

Au reste, il est facile de voir, par l’analyse précédente, qu’on n’est pas astreint à prendre pour $f^{\mu }(p)$ et $f^{\mu }(q)$ la plus petite et la plus grande valeur de $f^{\mu }(x+i),$ mais qu’on peut prendre à leur place des valeurs quelconques plus petites que la plus petite, et plus grandes que la plus grande ; ce qui peut servir, dans nombre de cas, à faciliter beaucoup la détermination des limites.

J’observerai ici, quoique cela ne soit presque pas nécessaire, que j’entends toujours par quantités plus grandes ou plus petites absolument celles qui sont plus avancées vers l’infini positif ou vers l’infini négatif ; ainsi, si $a>b,$ on aura $-a<-b,$ etc.

L’analyse précédente redonne, comme l’on voit, successivement les termes du développement de $f(x+i)\,;$ mais elle a l’avantage de ne développer cette fonction qu’autant que l’on veut, et d’offrir des limites du reste.

En effet, si dans le développement de $f(x+i)$ on veut s’arrêter au terme $\mu ^{\mathrm {i{\grave {e}}me} },$ pour avoir les limites du reste du développement, il n’y a