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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

étant ajoutées ensemble, après avoir multiplié la première par $\alpha ,$ la deuxième par $\beta ,$ et la troisième par $\gamma ,$ on a

$d\alpha =\beta d\chi +\gamma d\pi \,;$

et si on les multiplie par $\alpha _{1},\,\beta _{1},\,\gamma _{1}$ et par $\alpha _{2},\,\beta _{2},\,\gamma _{2},$ qu’on les ajoute ensuite, on a pareillement

${\begin{aligned}d\alpha _{1}=\beta _{1}d\chi +\gamma _{1}d\pi ,\\d\alpha _{2}=\beta _{2}d\chi +\gamma _{2}d\pi .\end{aligned}}$

De même les trois équations

${\begin{aligned}\alpha d\alpha +\alpha _{1}d\alpha _{1}+\alpha _{2}d\alpha _{2}=&-d\chi ,\\\beta d\alpha +\,\beta _{1}d\alpha _{1}+\beta _{2}d\alpha _{2}=&0,\\\gamma d\alpha +\,\gamma _{1}d\alpha _{1}+\gamma _{2}d\alpha _{2}=&d\sigma \end{aligned}}$

donneront

${\begin{aligned}d\beta \ \,=&-\alpha \ \,d\chi +\gamma \ \,d\sigma ,\\d\beta _{1}=&-\alpha _{1}d\chi +\gamma _{1}d\sigma ,\\d\beta _{2}=&-\alpha _{2}d\chi +\gamma _{2}d\sigma .\end{aligned}}$

Enfin les trois équations

${\begin{aligned}\alpha d\gamma +\alpha _{1}d\gamma _{1}+\alpha _{2}d\gamma _{2}=&-d\pi ,\\\beta d\gamma +\,\beta _{1}d\gamma _{1}+\beta _{2}d\gamma _{2}=&-d\sigma ,\\\gamma d\gamma +\,\gamma _{1}d\gamma _{1}+\gamma _{2}d\gamma _{2}=&0\end{aligned}}$

donneront pareillement

${\begin{aligned}d\gamma \ \,=&-\alpha \ \,d\pi -\beta \ \,d\sigma ,\\d\gamma _{1}=&-\alpha _{1}d\pi -\beta _{1}d\sigma ,\\d\gamma _{2}=&-\alpha _{2}d\pi -\beta _{2}d\sigma .\end{aligned}}$

72. Par le moyen de ces formules, on aura

${\frac {\partial x}{\partial h}}=\mathrm {X} {\frac {\partial \alpha }{\partial h}}+\mathrm {Y} {\frac {\partial \beta }{\partial h}}=(\beta \mathrm {X} -\alpha \mathrm {Y} ){\frac {\partial \chi }{\partial h}}+\gamma \left(\mathrm {X} {\frac {\partial \pi }{\partial h}}+\mathrm {Y} {\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right)\,;$

et, affectant les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ d’un ou de deux traits, on aura les valeurs de ${\frac {\partial y}{\partial h}},\,{\frac {\partial z}{\partial h}}\,;$ pur avoir celles de ${\frac {\partial x'}{\partial h}},\,{\frac {\partial y'}{\partial h}},\,{\frac {\partial z'}{\partial h}},$ il n’y aura qu’à

,