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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

variations, ou croissantes avec le temps, ou périodiques, mais avec des périodes propres et d’une longue durée.

76. Pour déterminer les variations séculaires, il n’y aura qu’à substituer pour $\Omega$ la partie non périodique de cette fonction, c’est-à-dire le premier terme du développement de $\Omega$ en séries du sinus et du cosinus d’angles dépendants des moyens mouvements de la planète troublée et des planètes perturbatrices. Car, $\Omega$ n’étant fonction que des coordonnées elliptiques de ces planètes, lesquelles peuvent toujours, du moins tant que les excentricités et les inclinaisons sont peu considérables, se réduire en séries du sinus et cosinus d’angles proportionnels aux anomalies et aux longitudes moyennes, on pourra aussi développer la fonction $\Omega$ dans une série du même genre, et le premier terme sans sinus et cosinus sera le seul qui puisse donner des équations séculaires.

Désignons par $\Omega$ ce premier terme de $\Omega ,$ lequel sera une simple fonction des éléments $a,\,b,\,c,\,e,\,h,\,i$ de la planète troublée et des éléments semblables des planètes perturbatrices ; il est clair que l’élément $c$ qui est joint au temps $t$ ne s’y trouvera pas ainsi, en substituant $(\Omega )$ à la place de $\Omega ,$ on aura, pour les variations séculaires, les formules

${\begin{alignedat}{2}da=&0,&dc\ =&{\frac {2a^{2}}{\mathrm {g} }}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial a}}dt+{\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{e\mathrm {g} }}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}dt,\\de=&-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial \chi }}dt,\qquad &d\chi =&{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{e{\sqrt {\mathrm {g} a}}}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial e}}dt,\\dh=&{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial i}}dt,&di\ =&-{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} b}}\sin i}}{\frac {\partial (\Omega )}{\partial h}}dt,\end{alignedat}}$

où $b=a\left(1-e^{2}\right).$

77. L’équation

$da=0$

fait voir que le demi grand axe, ou la distance moyenne $a,$ n’est sujette à aucune variation séculaire, ce cas particulier du