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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

tipliées respectivement par $dr,\,d\psi ,\,d\varphi ,$ et ajoutées ensemble, donnent une équation intégrable, et dont l’intégrale est celle que nous venons de présenter.

On tire de cette équation

${\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{dt^{2}}}=4\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-2\int \mathrm {Q} dq-{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}},$

valeur qui, étant substituée dans la première équation multipliée par $r,$ la réduit à

${\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}+\mathrm {R} r+2\int \mathrm {R} dr+\mathrm {Q} r{\frac {\partial q}{\partial r}}+2\int \mathrm {Q} dq=4\mathrm {H} .$

Or, puisque

$q^{2}=r^{2}+h^{2}-2r\left[(a\cos \varphi +b\sin \varphi )\cos \psi +c\sin \psi \right],$

on aura, en faisant varier $r,$

$q{\frac {\partial q}{\partial r}}=r-(a\cos \varphi +b\sin \varphi )\cos \psi -c\sin \psi$

$=r-{\frac {r^{2}+h^{2}-q^{2}}{2r}}={\frac {r^{2}+q^{2}-h^{2}}{2r}}\,;$

donc, substituant cette valeur de ${\frac {\partial q}{\partial r}},$ on aura enfin

${\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}+\mathrm {R} r+2\int \mathrm {R} dr+\mathrm {Q} {\frac {r^{2}+q^{2}-h^{2}}{2q}}+2\int \mathrm {Q} dq=4\mathrm {H} .$

Cette équation a l’avantage de ne contenir que les deux variables $r$ et $q,$ et elle indique en même temps qu’il doit y avoir une pareille équation entre $q$ et $r,$ en changeant simplement $r$ et $q,$ ainsi que $\mathrm {R}$ et $\mathrm {Q} ,$ entre elles ; car il est indifférent de rapporter le mouvement du corps à l’un ou à l’autre des deux centres fixes, et il est clair qu’en le rapportant au centre de la force $\mathrm {Q}$ on trouverait, par une analyse semblable à la précédente,

${\frac {d^{2}\left(q^{2}\right)}{2dt^{2}}}+\mathrm {Q} q+2\int \mathrm {Q} dq+\mathrm {R} {\frac {r^{2}+q^{2}-h^{2}}{2r}}+2\int \mathrm {R} dr=4\mathrm {H} \,;$

ainsi l’on pourra, par ces deux équations, déterminer directement les deux rayons $r$ et $q.$