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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Je remarque maintenant qu’on peut, sans rien ôter à la généralité, supposer les deux coordonnées $a$ et $b$ du centre des forces $\mathrm {Q}$ nulles, ce qui revient à placer l’axe des coordonnées $z$ dans la ligne qui joint les deux centres. Par cette supposition, on aura $c=h,$ et la quantité $q$ deviendra

${\sqrt {r^{2}-2hr\sin \psi +h^{2}}},$

laquelle ne contenant plus $\varphi ,$ on aura donc

${\frac {\partial q}{\partial \varphi }}=0.$

Par conséquent, la troisième équation différentielle se réduira à

${\frac {d\left(r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi \right)}{dt^{2}}}=0,$

dont l’intégrale est

${\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {B} ,$

$\mathrm {B}$ étant une constante arbitraire ; d’où l’on tire

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {\mathrm {B} }{r^{2}\cos ^{2}\psi }}.$

Mais on a

$\sin \psi ={\frac {r^{2}+h^{2}-q^{2}}{2hr}}\,;$

donc

$\cos \psi ={\frac {\sqrt {4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}{2hr}}\,;$

par conséquent, en substituant cette valeur, on aura

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {4\mathrm {B} h^{2}}{4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}\,;$

de sorte que, connaissant $r$ et $q$ en $t,$ on aura aussi $\varphi$ en $t.$

Or, puisque $\sin \psi$ et ${\frac {d\varphi }{dt}}$ sont déjà données en $r$ et $q,$ il est clair qu’on peut réduire la quatrième équation à ne contenir que $r$ et $q,$ et alors elle sera nécessairement, à raison de la constante arbitraire $\mathrm {B} ,$ une