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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
sultat remarquable, c’est celui où le centre d’attraction nulle est placé sur le périmètre de l’ellipse.
Pour obtenir ce cas, on déterminera les constantes
et
de manière que, le rayon
étant nul, l’autre rayon
soit égal à
distance entre les deux autres ; par conséquent, il faudra que les variables
et
deviennent à la fois égales à
Les équations
de l’article 81 sont très propres à cette détermination.
Faisant
la première de ces équations donne
![{\displaystyle \mathrm {B} ^{2}h^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f408931a159f6ca2cb62c7a8460ad0c76fff1ae)
ensuite, la différence de ces équations étant divisée par
si l’on y fait
on a, à cause de ![{\displaystyle \beta =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8613da34a363be3fb9e3e100e519c456c181e7f)
![{\displaystyle -3\alpha h^{2}+\alpha h^{2}=4\mathrm {H} h^{3}+2\mathrm {C} h\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e5975cf886ef924b7ab395a1f52049370ac55c)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {C} =-\alpha h-2\mathrm {H} h^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15018cfeab798ccd2f766e54860941cf82cd226)
Par les substitutions de ces valeurs, le polynôme
![{\displaystyle \mathrm {H} s^{4}+\alpha s^{3}+\mathrm {C} s^{2}-\alpha h^{2}s-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {B} ^{2}h^{2}-\mathrm {C} h^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528fcffac43fecaed1423b4b9144099ce8d81522)
devient
![{\displaystyle \mathrm {H} \left(s^{4}-2s^{2}h^{2}+h^{4}\right)+\alpha \left(s^{3}-s^{2}h-sh^{2}+h^{3}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0002d46f4146c8a8181f4725dad61ab6a765d62c)
ce qui se réduit à la forme
![{\displaystyle \mathrm {H} (s+h)^{2}(s-h)^{2}+\alpha (s+h)(s-h)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/785b2a5a91ed11dac8143c40bd1c2fbb79b13fe7)
il en sera de même du polynôme en ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Or, par l’article 15, on a, dans ce cas,
![{\displaystyle \alpha =\mathrm {g} \qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {H} =-{\frac {\mathrm {g} }{2a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ed4a9e8c94e2c0d418f3a7687e82cb1dcf3582)
étant le demi grand axe de l’ellipse ; donc les équations
et
deviendront
![{\displaystyle {\frac {ds}{(s-h){\sqrt {\mathrm {g} (s+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(s+h)^{2}}}}}={\frac {du}{(u-h){\sqrt {\mathrm {g} (u+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(u+h)^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b555d1fc10724a381ef093474cf85b0017123ef9)
![{\displaystyle dt={\frac {s^{2}ds}{4(s-h){\sqrt {\mathrm {g} (s+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(s+h)^{2}}}}}-{\frac {u^{2}du}{4(u-h){\sqrt {\mathrm {g} (u+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(u+h)^{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d37bbab47ce370fc2655fb493a9eb0342d993af)