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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

sultat remarquable, c’est celui où le centre d’attraction nulle est placé sur le périmètre de l’ellipse.

Pour obtenir ce cas, on déterminera les constantes $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ de manière que, le rayon $q$ étant nul, l’autre rayon $r$ soit égal à $h,$ distance entre les deux autres ; par conséquent, il faudra que les variables $s=r+q$ et $u=r-q$ deviennent à la fois égales à $h.$ Les équations $(e)$ de l’article 81 sont très propres à cette détermination.

Faisant $s=u=h,$ la première de ces équations donne

$\mathrm {B} ^{2}h^{2}=0\,;$

ensuite, la différence de ces équations étant divisée par $s-u,$ si l’on y fait $s=u=h,$ on a, à cause de $\beta =0,$

$-3\alpha h^{2}+\alpha h^{2}=4\mathrm {H} h^{3}+2\mathrm {C} h\,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {C} =-\alpha h-2\mathrm {H} h^{2}.$

Par les substitutions de ces valeurs, le polynôme

$\mathrm {H} s^{4}+\alpha s^{3}+\mathrm {C} s^{2}-\alpha h^{2}s-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {B} ^{2}h^{2}-\mathrm {C} h^{2}$

devient

$\mathrm {H} \left(s^{4}-2s^{2}h^{2}+h^{4}\right)+\alpha \left(s^{3}-s^{2}h-sh^{2}+h^{3}\right),$

ce qui se réduit à la forme

$\mathrm {H} (s+h)^{2}(s-h)^{2}+\alpha (s+h)(s-h)^{2}\,;$

il en sera de même du polynôme en $u.$

Or, par l’article 15, on a, dans ce cas,

$\alpha =\mathrm {g} \qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {H} =-{\frac {\mathrm {g} }{2a}},$

$a$ étant le demi grand axe de l’ellipse ; donc les équations $(f)$ et $(g)$ deviendront

${\frac {ds}{(s-h){\sqrt {\mathrm {g} (s+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(s+h)^{2}}}}}={\frac {du}{(u-h){\sqrt {\mathrm {g} (u+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(u+h)^{2}}}}},$

$dt={\frac {s^{2}ds}{4(s-h){\sqrt {\mathrm {g} (s+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(s+h)^{2}}}}}-{\frac {u^{2}du}{4(u-h){\sqrt {\mathrm {g} (u+h)-{\dfrac {\mathrm {g} }{2a}}(u+h)^{2}}}}}\,;$