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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

Le premier terme donne l’expression du temps dans la parabole, et l’on a

$4t{\sqrt {\mathrm {g} }}={\frac {2}{3}}(h+p+q)^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{3}}(h+p-q)^{\frac {3}{2}},$

laquelle coïncide avec celle que nous avons trouvée dans l’article 25. Le reste de la série donne la différence des temps employés à parcourir un arc de parabole et un arc d’ellipse ou d’hyperbole ayant la même corde $u$ et la même somme $s$ des rayons vecteurs.

Cette belle propriété du mouvement dans les sections coniques a été trouvée par Lambert^[1], qui en a donné une démonstration ingénieuse dans son Traité intitulé : Insigniores orbitæ cometarum proprietates. Voir aussi les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1778^[2].

Le problème que nous venons de résoudre l’a été d’abord par Euler, dans le cas où il n’y a que deux centres fixes qui attirent en raison inverse des carrés des distances, et où le corps se meut dans un plan passant par les deux centres (Mémoires de Berlin de 1760) ; sa solution est surtout remarquable par l’art avec lequel il a su employer différentes substitutions, pour ramener au premier ordre et aux quadratures des équations différentielles qui, par leur complication, se refusaient à toutes les méthodes connues.

En donnant une autre forme à ces équations, je suis parvenu directement aux mêmes résultats, et j’ai même pu les étendre au cas où la courbe n’est pas dans un même plan, et où il y a, de plus, une force proportionnelle à la distance et tendante à un centre fixe placé au milieu des deux autres centres. Voir le quatrième Volume des anciens Mémoires de Turin^[3] d’où l’analyse précédente est tirée, et dans lequel on trouvera aussi l’examen du cas où l’un des centres s’éloignant à

1. Voir la note de la page 30.
2. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 559. Le Mémoire auquel Lagrange fait allusion est intitulé Sur une manière particulière d’exprimer le temps dans les sections coniques décrites par des forces tendantes au foyer et réciproquement proportionnelles aux carrés des distances. Lagrange y indique différentes manières de démontrer le théorème d’Euler et de Lambert. G. D.
   
3. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 67. Le Mémoire est intitulé Recherches sur le mouvement d’un corps qui est attiré par deux centres fixes. G. D.