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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

On aura

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&{\sqrt {(x'\ \ -x\ )^{2}+(y'\ \ -y\ )^{2}+(z'\ \ -z\ )^{2}}},\\\rho ''\ =&{\sqrt {(x''\ -x\ )^{2}+(y''\ -y\ )^{2}+(z''\ -z\ )^{2}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho ''_{1}\ =&{\sqrt {(x''\ -x')^{2}+(y''\ -y')^{2}+(z''\ -z')^{2}}},\\\rho '''_{1}=&{\sqrt {(x'''-x')^{2}+(y'''-y')^{2}+(z'''-z')^{2}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et la quantité $\mathrm {V}$ (art. 2) sera

${\begin{aligned}\mathrm {V} =&+\mathrm {m} \ \ \left(\mathrm {m} '\ \ \int \mathrm {R} 'd\rho '\ \ +\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''d\rho ''\ \,+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''d\rho '''+\ldots \right)\\&+\mathrm {m} '\ \left(\mathrm {m} ''\ \int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}\,+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}+\ldots \right)\\&+\mathrm {m} ''\left(\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{''}}d\rho '''_{_{''}}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Or, quelles que soient les coordonnées indépendantes qu’on voudra adopter, on aura toujours, par rapport à chacune d’elles, comme $\xi ,$ une équation de la forme canonique

$d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial d\xi }}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi }}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi }}=0.$

Et comme, dans le système que nous considérons, il n’y a aucun point fixe, on pourra prendre l’origine des coordonnées partout où l’on voudra, et l’on aura toujours, comme on l’a vu dans la Section III, les trois intégrales finies relatives au centre de gravité, ainsi que les trois intégrales du premier ordre relatives aux aires, et enfin l’intégrale des forces vives $\mathrm {T+V=H} .$

On aura de cette manière le mouvement absolu des corps dans l’espace mais, comme la solution de ce problème n’est importante qu’à l’égard des planètes, et qu’il n’y a que leurs mouvements relatifs par rapport au Soleil, regardé comme immobile, qui intéressent l’Astronomie, il nous reste à voir comment on peut transporter aux mouvements relatifs l’équation générale des mouvements absolus des corps du système.