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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

§ I. — Équations générales pour le mouvement relatif des corps
qui s’attirent mutuellement.

87. Supposons qu’on demande les mouvements relatifs des corps $\mathrm {m',\,m''} ,\ldots$ par rapport au corps $\mathrm {m} \,;$ désignons par $\xi ',\,\eta ',\,\zeta '$ les coordonnées rectangles du corps $\mathrm {m} ',$ rapporté au corps $\mathrm {m} ,$ en prenant ce dernier corps pour l’origine des coordonnées ; soient de même $\xi '',\,\eta '',\,\zeta ''$ les coordonnées rectangles du corps $\mathrm {m} ''$ par rapport au même corps $\mathrm {m} ,$ et ainsi de suite ; la question consistera à trouver une formule générale qui ne contienne que ces coordonnées.

Il est d’abord évident qu’on aura

${\begin{alignedat}{3}x'\ =&x+\xi ',&y'\ =&y+\eta ',&z'\ =&z+\zeta ',\\x''=&x+\xi '',\qquad &y''=&y+\eta '',\qquad &z''=&z+\zeta '',\\\ldots \ldots &\ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots \,;\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&{\sqrt {\xi '^{2}\ +\eta '^{2}\ +\zeta '^{2}}},\\\rho ''\ =&{\sqrt {\xi ''^{2}+\eta ''^{2}+\zeta ''^{2}}},\\\ldots \ldots &..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho ''_{_{'}}\ =&{\sqrt {(\xi ''\,-\xi ')^{2}\,+(\eta ''\,-\eta ')^{2}\ +(\zeta ''\,-\zeta ')^{2}}},\\\rho '''_{_{'}}=&{\sqrt {(\xi '''-\xi ')^{2}\,+(\eta '''-\eta ')^{2}\,+(\zeta '''-\zeta ')^{2}}},\\\ldots \ldots &..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho '''_{_{''}}=&{\sqrt {(\xi '''-\xi '')^{2}+(\eta '''-\eta '')^{2}+(\zeta '''-\zeta '')^{2}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et la quantité $\mathrm {T}$ deviendra

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots ){\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}\\&+{\frac {\begin{aligned}dx(\mathrm {m} 'd\xi '+\mathrm {m} ''d\xi ''+\ldots )&+dy(\mathrm {m} 'd\eta '+\mathrm {m} ''d\eta ''+\ldots )\\&+dz(\mathrm {m} 'd\zeta '+\mathrm {m} ''d\zeta ''+\ldots )+\ldots \end{aligned}}{dt^{2}}}\\&+\mathrm {m} '{\frac {d\xi '^{2}+d\eta '^{2}+d\zeta '^{2}}{2dt^{2}}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\xi ''^{2}+d\eta ''^{2}+d\zeta ''^{2}}{2dt^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

Comme les variables $x,\,y,\,z,$ après ces substitutions, n’entrent plus