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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

dans la quantité $\mathrm {V} ,$ et que ces variables n’entrent point dans $\mathrm {T}$ sous la forme finie, on aura, relativement à ces mêmes variables, les équations

$d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dx}}=0,\qquad d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dy}}=0,\qquad d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dz}}=0,$

ce qui donne

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dx}}=\alpha ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dy}}=\beta ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial dz}}=\gamma ,$

$\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ étant des constantes arbitraires.

Ainsi, on aura les trois équations

${\begin{aligned}\left(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots \right){\frac {dx}{dt}}+\mathrm {m} '{\frac {d\xi '}{dt}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\xi ''}{dt}}+\ldots =\alpha ,\\\left(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots \right){\frac {dy}{dt}}+\mathrm {m} '{\frac {d\eta '}{dt}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\eta ''}{dt}}+\ldots =\beta ,\\\left(\mathrm {m+m'+m''} +\ldots \right){\frac {dz}{dt}}+\mathrm {m} '{\frac {d\zeta '}{dt}}+\mathrm {m} ''{\frac {d\zeta ''}{dt}}+\ldots =\gamma ,\end{aligned}}$

les quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ étant des constantes.

Si maintenant on substitue dans l’expression précédente de $\mathrm {T}$ les valeurs de ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}}$ tirées de ces équations, et qu’on fasse, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&m'\xi '+m''\xi ''+m'''\xi '''\,+\ldots ,\\\mathrm {Y} =&m'\eta '+m''\eta ''+m'''\eta '''+\ldots ,\\\mathrm {Z} =&m'\zeta '+m''\zeta ''\,+m'''\zeta '''+\ldots ,\\\mathrm {M} =&\mathrm {m+m'+m''+m'''} +\ldots ,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&{\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}{2\mathrm {M} }}-{\frac {d\mathrm {X} ^{2}+d\mathrm {Y} ^{2}+d\mathrm {Z} ^{2}}{2\mathrm {M} dt^{2}}}\\&+m'{\frac {d\xi '^{2}+d\eta '^{2}+d\zeta '^{2}}{2dt^{2}}}+m''{\frac {d\xi ''^{2}+d\eta ''^{2}+d\zeta ''^{2}}{2dt^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

88. Les variables $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',\,\xi '',\ldots$ étant indépendantes, et la quantité $\mathrm {T}$ ne contenant point ces variables sous la forme finie, on aura