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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

tout de suite, par rapport à chacune d’elles, les équations

${\begin{array}{rrr}\mathrm {m} '\left({\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}=0,&\mathrm {m} ''\left({\frac {d^{2}\xi ''}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}=0,&\ldots ,\\\mathrm {m} '\left({\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}=0,&\mathrm {m} ''\left({\frac {d^{2}\eta ''}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta ''}}=0,&\ldots ,\\\mathrm {m} '\left({\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '}}=0,&\mathrm {m} ''\left({\frac {d^{2}\zeta ''}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {M} dt^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta ''}}=0,&\ldots ,\\\end{array}}$

Si l’on ajoute ensemble les premières équations relatives aux variables $\xi ',\,\xi '',\ldots ,$ on a

$\mathrm {\frac {M}{m}} {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}+\ldots =0,$

ce qui donne

${\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {m}{M}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}+\ldots \right),$

et l’on trouvera de même, par l’addition des deuxièmes équations et par celle des troisièmes,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {m}{M}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta ''}}+\ldots \right),\\{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {m}{M}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta ''}}+\ldots \right),\end{aligned}}$

valeurs qu’on pourra substituer dans les équations précédentes.

On aura ainsi, pour le mouvement du corps $\mathrm {m} '$ autour de $\mathrm {m} ,$ les trois équations

${\begin{aligned}\mathrm {m} '{\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}+\mathrm {\frac {m'}{m}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}+\ldots \right)=0,\\\mathrm {m} '{\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}+\mathrm {\frac {m'}{m}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta ''}}+\ldots \right)=0,\\\mathrm {m} '{\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '}}+\mathrm {\frac {m'}{m}} \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta ''}}+\ldots \right)=0,\\\end{aligned}}$

et l’on aura de pareilles équations pour le mouvement des corps $m'',\,m''',\ldots$ autour du corps $\mathrm {m} ,$ en changeant seulement entre elles les quantités affectées de deux traits, ou de trois, etc.