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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

rapportent aux masses $\mathrm {m',m''} .$ On aura

${\begin{aligned}\rho _{_{'}}^{''2}=\rho '^{2}+\rho ''^{2}&-2\rho '\rho ''(\alpha '\,\cos \Phi '+\beta '\,\sin \Phi ')(\alpha ''\cos \Phi ''+\beta ''\sin \Phi '')\\&-2\rho '\rho ''(\alpha '_{1}\cos \Phi '+\beta '_{1}\sin \Phi ')(\alpha ''_{1}\cos \Phi ''+\beta ''_{1}\sin \Phi '')\\&-2\rho '\rho ''(\alpha '_{2}\cos \Phi '+\beta '_{2}\sin \Phi ')(\alpha ''_{2}\cos \Phi ''+\beta ''_{2}\sin \Phi '').\end{aligned}}$

Si l’on fait les multiplications, qu’on développe les produits des sinus et cosinus et qu’on fasse, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {A} \ \,=&\alpha '\alpha ''+\alpha '_{1}\alpha ''_{1}+\alpha '_{2}\alpha ''_{2},\\\mathrm {B} \ \,=&\alpha '\beta ''+\alpha '_{1}\beta ''_{1}\,+\alpha '_{2}\beta ''_{2},\\\mathrm {A} _{1}=&\alpha ''\beta '+\alpha ''_{1}\beta '_{1}\,+\alpha ''_{2}\beta '_{2},\\\mathrm {B} _{1}=&\beta '\beta ''+\beta '_{1}\beta ''_{1}\ +\beta '_{2}\beta ''_{2},\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}\rho _{_{'}}^{''2}=\rho '^{2}+\rho ''^{2}&-(\mathrm {A+B_{1}} )\rho '\rho ''\cos(\Phi '-\Phi '')-(\mathrm {A-B_{1}} )\rho '\rho ''\cos(\Phi '+\Phi '')\\&-(\mathrm {A_{1}-B} )\rho '\rho ''\sin \,(\Phi '-\Phi '')-(\mathrm {A_{1}+B} )\rho '\rho ''\sin \,(\Phi '+\Phi '').\end{aligned}}$

Les quantités $\alpha ',\,\beta ',\,\alpha '_{1},\ldots$ sont fonctions des éléments $h',\,i',\,k'$ de l’orbite de la planète $\mathrm {m} ',$ donnée par les formules de l’article 13, en marquant toutes les lettres d’un trait, et les quantités $\alpha '',\,\beta '',\,\alpha ''_{1},\ldots$ sont fonctions semblables des éléments $h'',i'',k''$ de l’orbite de la planète $\mathrm {m} '',$ en marquant les lettres de deux traits ainsi les quantités $\mathrm {A,\,B,\,A_{1},\,B_{1}}$ sont fonctions de ces mêmes éléments ; mais, par la considération suivante, on peut voir ce qu’elles expriment.

94. Les coordonnées primitives rapportées à un plan donné étant $x,\,y,\,z,$ pour les transformer dans les coordonnées $x',\,y',\,z'$ rapportées au plan de l’orbite de $\mathrm {m} ',$ on a, par les formules générales de l’article 14,

${\begin{aligned}x=&\alpha '\,x'+\beta '\,y'+\gamma '\,z',\\y=&\alpha '_{1}x'+\beta '_{1}y'+\gamma '_{1}z',\\z=&\alpha '_{2}x'+\beta '_{2}y'+\gamma '_{2}z',\\\end{aligned}}$

où les coefficients $\alpha ',\,\beta ',\ldots$ dépendent des constantes $h',\,i',\,k'$ qui déterminent la position des nouveaux axes par rapport aux primitifs, $i'$ étant l’inclinaison des deux plans.