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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

De même, si l’on voulait transformer les mêmes coordonnées dans les coordonnées $x'',\,y'',\,z''$ rapportées au plan de l’orbite de $\mathrm {m} '',$ on aurait

${\begin{aligned}x=&\alpha ''x''+\beta ''y''+\gamma ''z'',\\y=&\alpha ''_{1}x''+\beta ''_{1}y''+\gamma ''_{1}z'',\\z=&\alpha ''_{2}x''+\beta ''_{2}y''+\gamma ''_{2}z'',\end{aligned}}$

où les coefficients $\alpha '',\,\beta '',\ldots$ seraient des fonctions semblables des constantes $h'',\,i'',\,k''$ qui déterminent la position de ce nouveau plan patrapport au même plan primitif, et où $i''$ serait l’inclinaison de ces plans.

Si l’on compare maintenant ces expressions, on aura

${\begin{aligned}\alpha '\,x'+\beta '\,y'+\gamma '\,z'=&\alpha ''x''+\beta ''y''+\gamma ''z'',\\\alpha '_{1}x'+\beta '_{1}y'+\gamma '_{1}z'=&\alpha ''_{1}x''+\beta ''_{1}y''+\gamma ''_{1}z'',\\\alpha '_{2}x'+\beta '_{2}y'+\gamma '_{2}z'=&\alpha ''_{2}x''+\beta ''_{2}y''+\gamma ''_{2}z'',\end{aligned}}$

Comme les coefficients $\alpha ',\,\beta ',\,\gamma '\,;\alpha '_{1},\ldots$ sont assujettis aux mêmes équations de condition que les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \,;\alpha _{1},\ldots$ de l’article 14, si l’on ajoute ensemble les trois équations précédentes, après les avoir multipliées respectivement par $\alpha ',\,\alpha '_{1},\,\alpha '_{2},$ par $\beta ',\,\beta '_{1},\,\beta '_{2},$ et par $\gamma ',\,\gamma '_{1},\,\gamma '_{2},$ on aura, en vertu de ces équations,

${\begin{aligned}x'=&\mathrm {A} \ \,x''+\mathrm {B} \ \,y''+\mathrm {C} \ \,z'',\\y'=&\mathrm {A} _{1}x''+\mathrm {B} _{1}y''+\mathrm {C} _{1}z'',\\z'=&\mathrm {A} _{2}x''+\mathrm {B} _{2}y''+\mathrm {C} _{2}z'',\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {A} \ =&\alpha '\alpha ''+\alpha '_{1}\alpha ''_{1}+\alpha '_{2}\alpha ''_{2},\\\mathrm {B} \ =&\alpha '\beta ''+\alpha '_{1}\beta ''_{1}\,+\alpha '_{2}\beta ''_{2},\\\mathrm {C} \ =&\alpha '\gamma ''+\alpha '_{1}\gamma ''_{1}\,+\alpha '_{2}\gamma ''_{2},\\\\\mathrm {A} _{1}=&\beta '\alpha ''+\beta '_{1}\alpha ''_{1}+\beta '_{2}\alpha ''_{2},\\\mathrm {B} _{1}=&\beta '\beta ''+\beta '_{1}\beta ''_{1}\,+\beta '_{2}\beta ''_{2},\\\mathrm {C} _{1}=&\beta '\gamma ''+\beta '_{1}\gamma ''_{1}\,+\beta '_{2}\gamma ''_{2},\\\\\mathrm {A} _{2}=&\gamma '\alpha ''+\gamma '_{1}\alpha ''_{1}+\gamma '_{2}\alpha ''_{2},\\\mathrm {B} _{2}=&\gamma '\beta ''+\gamma '_{1}\beta ''_{1}\,+\gamma '_{2}\beta ''_{2},\\\mathrm {C} _{2}=&\gamma '\gamma ''+\gamma '_{1}\gamma ''_{1}\,+\gamma '_{2}\gamma ''_{2}.\end{aligned}}$