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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
qu’on peut aussi démontrer directement par l’intégration de la même équation. Car, en y substituant pour
sa valeur tirée de la première intégrale, elle devient
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {C} ^{2}d\psi ^{2}}{\cos ^{4}\psi d\varphi ^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} ^{2}}{\cos ^{2}\psi }}=\mathrm {E} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/332e26b29c86296bcb40cd12cb721f7522d3dec0)
Soit, lorsque
on aura
![{\displaystyle \mathrm {E^{2}=C^{2}+C^{2}} \operatorname {tang} ^{2}i={\frac {\mathrm {C} ^{2}}{\cos ^{2}i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838a18884cec5a8dc90d72d4f9215494fb5ecba6)
et la dernière équation se changera en
![{\displaystyle {\frac {d\psi ^{2}}{\cos ^{4}\psi d\varphi ^{2}}}={\frac {1}{\cos ^{2}i}}-{\frac {1}{\cos ^{2}\psi }}=\operatorname {tang} ^{2}i-\operatorname {tang} ^{2}\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c5b644cf60b910e1ed91fc29007c4de378f245)
d’où l’on tire
![{\displaystyle d\varphi ={\frac {d\psi }{\cos ^{2}\psi {\sqrt {\operatorname {tang} ^{2}i-\operatorname {tang} ^{2}\psi }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6540b54cc86b75b0f416d383d1574b730746a062)
équation séparée dont l’intégrale est
![{\displaystyle \varphi -h=\operatorname {arc\,sin} {\frac {\operatorname {tang} \psi }{\operatorname {tang} i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fed1c573a77e430be2984190500ba3fe6f3149)
ou bien
![{\displaystyle \operatorname {tang} \psi =\operatorname {tang} i\sin(\varphi -h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ed863ab86bee7f0de0652c0bb9ab619f8e645b)
étant la valeur de
lorsque ![{\displaystyle \psi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6f3861f9533700f51f7859e8ced99f7625f0b0)
Cette équation fait voir que
et
sont les deux côtés d’un triangle sphérique rectangle dans lequel
est l’angle opposé au côté
Ainsi, puisque l’arc
est pris sur le plan des
et que l’arc
est toujours perpendiculaire à ce même plan, il s’ensuit que l’arc qui joint ces deux-ci, et qui forme l’hypoténuse du triangle, fera avec la base
l’angle constant
par conséquent, cet arc passera par les extrémités de tous les arcs, et tous les rayons
se trouveront dans le plan du même arc, lequel sera ainsi le plan de l’orbite du corps, dont l’inclinaison sur le plan des
sera l’angle constant
et dont l’intersection avec ce même plan fera avec l’axe des
l’angle
Si, pour fixer les idées, on prend le plan des
pour l’écliptique,