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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

quement par rapport à $\varphi ,$ et ensuite par rapport à $a',$ l’équation identique

$\left(a'^{2}-2a'a''\cos \varphi +a''^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=(a',a'')+(a',a'')_{1}\cos \varphi +(a',a'')_{2}\cos 2\varphi +\ldots ,$

et qu’après avoir multiplié en croix, on compare les termes multipliés par les mêmes cosinus, on aura d’abord

$3a'a''(a',a'')_{2}=-2a'a''(a',a'')+2\left(a'^{2}+a''^{2}\right)(a',a'')_{1}\,;$

ensuite les différentielles relatives à $a'$ et $a''$ donneront

${\begin{aligned}{\frac {\partial (a',a'')}{\partial a'}}\ =&{\frac {a'(a',a'')-a''(a',a'')_{1}}{\left(a''^{2}-a'^{2}\right)}},\\{\frac {\partial (a',a'')_{1}}{\partial a'}}=&{\frac {a'a''(a',a'')-a''^{2}(a',a'')_{1}}{a'\left(a''^{2}-a'^{2}\right)}},\\{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{\partial a'^{2}}}=&{\frac {4a'^{3}(a',a'')+a''\left(a''^{2}-3a'^{2}\right)(a',a'')_{1}}{a'\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}},\\{\frac {\partial ^{2}(a',a'')}{\partial a'\partial a''}}=&{\frac {-2\left(a'^{2}+a''^{2}\right)+2a'a''(a',a'')_{1}}{a'\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs, on aura

${\begin{aligned}((a',a''))=&{\frac {4a'^{2}a''^{2}(a',a'')-a'a''\left(a'^{2}+a''^{2}\right)(a',a'')_{1}}{8\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}},\\\left[(a',a'')\right]=&{\frac {-a'a''\left(a'^{2}+a''^{2}\right)(a',a'')+\left(a'^{2}+a''^{2}-a'a''\right)(a',a'')_{1}}{2\left(a''^{2}-a'^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Mais on peut avoir des expressions plus simples de ces fonctions, en employant les coefficients de la série

$\left(a'^{2}-2a'a''\cos \varphi +a''^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}=[a',a'']+[a',a'']_{1}\cos \varphi +\ldots \,;$

car, en différentiantlogarithmiquement et multipliant ensuite en croix, on trouve d’abord, comme ci-dessus,

$a'a''[a',a'']_{2}=2\left(a'^{2}+a''^{2}\right)[a',a'']_{1}-6a'a''[a',a'']\,;$

substituant cette valeur de $[a',a'']_{2},$ et comparant la série multipliée par $a'^{2}-2a'a''\cos \varphi +a''^{2}$ avec la série $(a',a'')+(a',a'')_{1}\cos \varphi +\ldots ,$