Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/146

138

MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

$\mathrm {m} ''',\ldots$ et des fonctions qui y sont relatives, il est facile de voir que, dans les différences partielles de $(\Omega ')_{1},\,(\Omega '')_{1},\ldots ,$ on pourra changer ces fonctions en $\Phi ,$ pourvu qu’on divise par $\mathrm {m} '$ les différences partielles relatives à $e'$ et $\chi ',$ par $\mathrm {m} ''$ les différences partielles relatives à $e'',\,\chi '',$ et ainsi de suite.

De sorte que les équations des variations des excentricités et des aphélies deviendront

${\begin{alignedat}{2}{\frac {de'}{dt}}\ =&-{\frac {1}{\mathrm {m} '\ e'\ {\sqrt {\mathrm {g} 'a'\ }}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \chi '}},&{\frac {d\chi '}{dt}}=&{\frac {1}{\mathrm {m} '\ e'\ {\sqrt {\mathrm {g} 'a'\ }}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial e'}},\\{\frac {de''}{dt}}=&-{\frac {1}{\mathrm {m} ''e''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \chi ''}},\qquad &{\frac {d\chi ''}{dt}}=&{\frac {1}{\mathrm {m} ''e''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial e''}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Ces équations donnent

${\frac {\partial \Phi }{\partial \chi '}}d\chi '+{\frac {\partial \Phi }{\partial e'}}de'=0,\qquad {\frac {\partial \Phi }{\partial \chi ''}}d\chi ''+{\frac {\partial \Phi }{\partial e''}}de''=0,\qquad \ldots \,;$

donc, comme $\Phi$ est fonction des variables $e',\,\chi ',\,e'',\,\chi '',\ldots$ sans $t,$ on aura

$d\Phi =0,$

et par conséquent $\Phi$ égale à une constante. C’est une relation générale entre les excentricités et les lieux des aphélies des planètes, qui doit toujours subsister, quelques variations que les excentricités et les lieux des aphélies subissent à la longue, pourvu qu’elles soient très petites.

102. Mais la nature de la fonction $\Phi$ donne encore naissance à d’autres relations générales entre ces mêmes éléments.

En effet, il est facile de voir qu’on a l’équation

${\frac {\partial \Phi }{\partial \chi '}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial \chi ''}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial \chi '''}}+\ldots =0\,;$

et si l’on substitue à la place de ces différences partielles leurs valeurs $\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}{\frac {e'de'}{dt}},\,\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}{\frac {e''de''}{dt}},\ldots$ données par les équations de l’ar-