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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

Or, dans un triangle sphérique dont les angles sont $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ et dont le côté adjacent à $\alpha$ et $\beta ,$ et par conséquent opposé à $\gamma ,$ est $c,$ on a

$\cos \gamma =\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta .$

Donc, faisant varier $c$ de $\mathrm {A} dt,$ on aura

$d\cos \gamma =-\sin \alpha \sin \beta \sin c\mathrm {A} dt.$

Mais la même équation donne

$\cos c={\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\,;$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\sin c&={\frac {\sqrt {\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta -(\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta )^{2}}}{\sin \alpha \sin \beta }}\\&={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}{\sin \alpha \sin \beta }}.\end{aligned}}$

Faisons, pour abréger,

$u={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}=\sin \alpha \sin \beta \sin c\,;$

on aura

$d\cos \gamma =-\mathrm {A} udt.$

On trouvera de la même manière, en considérant la rétrogradation des orbites de $\mathrm {m} '$ et de $\mathrm {m} '''$ sur celle de $\mathrm {m} '',$ laquelle augmente le côté adjacent aux angles $\alpha ,\,\gamma ,$ et par conséquent opposé à l’angle $\beta ,$ de la quantité élémentaire $\mathrm {B} dt,$ en faisant

$\mathrm {B} ={\frac {\mathrm {m} ''}{4}}\left({\frac {a'a''[a'a'']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}-{\frac {a''a'''[a''a''']_{1}}{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}}\right),$

tandis que les angles $\alpha$ et $\gamma$ demeurent constants,

$d\cos \beta =-\mathrm {B} udt,$

parce que la quantité $u$ est une fonction symétrique des trois cosinus.

Enfin la rétrogradation des orbites de $\mathrm {m} '$ et $\mathrm {m} ''$ sur celle de $\mathrm {m} '''$ donnera aussi

$d\cos \alpha =-\mathrm {C} udt.$