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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

dra, ainsi que nous l’avons pratiqué plus haut, rejeter tous les termes périodiques et ne retenir que les termes constants.

112. En désignant, comme dans l’article 21, l’anomalie moyenne de la planète par

$u={\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}(t-c),$

on a vu que $r$ et $\Phi -u$ peuvent s’exprimer par des séries dont la première ne contient que des cosinus et la seconde des sinus d’angles multiples de $u\,;$ donc $dr$ ne contiendra que des sinus sans terme constant, et $d\Phi$ des cosinus de ces mêmes angles ; par conséquent, la quantité $dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}$ ne contiendra que des cosinus, et il en sera de même de la série qui exprimera la valeur de ${\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}}}.$ Ainsi, en faisant $\Gamma =f(r),$ la quantité $\Gamma {\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}}}$ sera exprimée par une série de cosinus de multiples de $u.$

Maintenant, pour avoir $\delta r$ et $\delta \Phi ,$ il faudra faire varier dans les séries de $r$ et de $\Phi$ les coefficients des cosinus et des sinus qui sont donnés en $a$ et $e,$ et, de plus, l’angle $u,$ à raison des constantes $a$ et $c$ qu’il renferme. Désignons par $\delta (r)$ et $\delta (\Phi )$ les parties de $\delta r$ et de $\delta \Phi$ qui contiennent les variations des coefficients ; on aura

$\delta r=\delta (r)+{\frac {dr}{du}}\delta u$

et, de même,

$\delta \Phi =\delta (\Phi )+{\frac {d\Phi }{du}}\delta u\,;$

donc

$dr\delta r+r^{2}d\Phi \delta \Phi =\delta r\delta (r)+r^{2}d\Phi \delta (\Phi )+\left(dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}\right){\frac {\delta u}{du}}.$

Or il est clair que $\delta (r)$ ne contiendra que des cosinus ; et, comme $dr$ ne contient que des sinus, $dr\delta (r)$ ne contiendra aussi que des sinus sans terme constant. De même, $\delta (\Phi )$ ne contiendra que des sinus, et, comme $\delta \Phi$ ne contient que des cosinus, $d\Phi \delta (\Phi )$ ne contiendra aussi que des sinus. D’ailleurs, $r^{2}$ ne contient que des cosinus ; par conséquent, $r^{2}d\Phi \delta (\Phi )$ ne contiendra que des sinus. Donc la quantité

$dr\delta (r)+r^{2}d\Phi \delta (\Phi ),$