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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

ne contenant que des sinus d’angles multiples de $u,$ sans aucun terme constant, devrà être négligée.

113. Ainsi, pour les équations séculaires, on aura simplement

$dr\delta r+r^{2}d\Phi \delta \Phi =\left(dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}\right){\frac {\delta u}{du}}.$

Or $du=dt{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}\,;$ donc, faisant ces substitutions, on aura, pour les termes à ajouter à $\delta \Omega ,$ à cause de la résistance du milieu,

$-{\frac {\Gamma \left(dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{dt^{3}}}{\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}\delta u-{\frac {\Gamma \left({\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}}}\right)r^{2}d\Phi }{dt^{2}}}\delta \chi ,$

où il faudra substituer pour $r$ et $\Phi$ leurs valeurs en $t$ ou $u,$ et ne retenir dans les résultats que les termes indépendants des sinus et cosinus de $u.$

Par les propriétés du mouvement elliptique, on a tout de suite

${\begin{aligned}r^{2}d\Phi =&\mathrm {D} dt={\sqrt {\mathrm {g} a\left(1-e^{2}\right)}}dt,\\dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}=&\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)\mathrm {g} dt^{2}\,;\end{aligned}}$

ainsi les termes dont il s’agit se réduiront à

$-\mathrm {g} \Gamma \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {a^{3}}}\delta u-\mathrm {g} \Gamma {\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}}}{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}\delta \chi ,$

où $\delta u=-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}\delta c-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{5}}}}(t-c)\delta a.$

114. Tels sont les termes qu’il faudra substituer à la place de $\delta \Omega ,$ dans les formules générales des variations des éléments des planètes (art. 74), et l’on aura

${\begin{aligned}da=&-2a^{2}\Gamma \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\mathrm {g} }}dt,\\dc=&3a\Gamma \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}dt,\\de=&{\frac {1-e^{2}}{e}}\Gamma \left[{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}}}-a\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}\right]{\sqrt {\mathrm {g} }}dt,\end{aligned}}$