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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

Supposons $\Gamma$ constant ; on aura, en intégrant,

$t={\frac {{\sqrt {\mathrm {A} }}-{\sqrt {a}}}{\Gamma {\sqrt {\mathrm {g} }}}},$

$\mathrm {A}$ étant la valeur de $a$ lorsque $t=0\,;$ donc

$a=\left({\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }}\right)^{2},$

et la valeur de $u$ deviendra

${\begin{aligned}u={\sqrt {g}}\int {\frac {dt}{\left({\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }}\right)^{3}}}&={\frac {1}{2\Gamma }}\left[{\frac {1}{\left({\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }}\right)^{2}}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}\right]\\&={\frac {t\mathrm {\sqrt {\cfrac {g}{A^{3}}}} -\Gamma t^{2}\mathrm {\cfrac {g}{2A^{2}}} }{\left(1-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {\cfrac {g}{A}} }}\right)^{2}}},\end{aligned}}$

où le coefficient $\Gamma$ doit être supposé très petit.

115. Pour avoir la variation séculaire de l’excentricité $e,$ il faudra substituer, dans les expressions irrationnelle ${\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}}}$ et $\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}$ de la valeur de $de,$ l’expression de $r$ en $u,$ et ne retenir dans le développement que les termes constants. Or, en ne conservant que les secondes dimensions de $e,$ on a, par l’article 21,

$r=a\left(1-e\cos u+{\frac {e^{2}}{2}}-{\frac {e^{2}}{2}}\cos 2u\right).$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}{\frac {1}{r}}=&{\frac {1}{a}}\left(1+e\cos u+e^{2}\cos 2u\right),\\{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}}}=&{\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(1+e\cos u-{\frac {e^{2}}{4}}+{\frac {3e^{2}}{4}}\cos 2u\right),\\\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}=&{\frac {1}{\sqrt {a^{3}}}}\left(1+3e\cos u+{\frac {3}{4}}e^{2}+{\frac {15}{4}}e^{2}\cos 2u\right)\,;\end{aligned}}$

par conséquent, en rejetant les $\cos u$ et $\cos 2u$^[1], on aura

$de=-\Gamma {\sqrt {\mathrm {g} }}\left(1-e^{2}\right)e{\frac {dt}{\sqrt {a}}}.$

1. Qui sont des termes périodiques. (J. Bertrand.)