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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Si l’on substitue pour ${\sqrt {a}}$ sa valeur ${\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }},$ et qu’on néglige d’abord les $e^{3},$ on aura l’équation

$de\left({\sqrt {\mathrm {A} }}-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {g} }}\right)+\Gamma {\sqrt {\mathrm {g} }}edt=0,$

dont l’intégrale donne

$e=\mathrm {E} \left(1-\Gamma t{\sqrt {\mathrm {\frac {g}{A}} }}\right),$

$\mathrm {E}$ étant la valeur de $e$ lorsque $t=0.$

Mais, comme l’existence d’un milieu résistant et, à plus forte raison, la loi de la densité de ce milieu ne sont qu’hypothétiques, les résultats précédents ne doivent être regardés que comme une application de nos formules générales des variations séculaires.

§ IV. — Du mouvement autour du centre commun de gravité
de plusieurs corps qui s’attirent mutuellement.

116. Nous avons démontré dans l’article 6 de la troisième Section que, dans tout système libre, les équations du mouvement des corps du système sont les mêmes, soit qu’on les rapporte au centre de gravité du système, ou à un point quelconque fixe hors du système. Ainsi, dans les formules de l’article 86, on pourra établir dans le centre de gravité de tous les corps $\mathrm {m,\,m',\,m''} ,\ldots$ l’origine de leurs coordonnées $x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z',\ldots ,$ et, par les propriétés du centre de gravité, on aura les trois équations

${\begin{aligned}&\mathrm {m} x+\mathrm {m} 'x'+\mathrm {m} ''x''+\mathrm {m} '''x'''+\ldots =0,\\&\mathrm {m} y\,+\mathrm {m} 'y'+\mathrm {m} ''y''\,+\mathrm {m} '''y'''+\ldots =0,\\&\mathrm {m} z\ +\mathrm {m} 'z'+\mathrm {m} ''z''\ +\mathrm {m} '''z'''+\ldots =0,\end{aligned}}$

lesquelles donnent tout de suite les valeurs des coordonnées de $\mathrm {m} ,$ par celles des autres corps $\mathrm {m',\,m''} ,\ldots .$

Considérons en particulier le mouvement du corps $\mathrm {m} '$ autour du centre commun de gravité. Comme ses coordonnées $x',\,y',\,z'$ sont