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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

indépendantes, on pourra, dans les formules de l’article cité, réduire les quantités $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ aux termes multipliés par $\mathrm {m} ',$ qui sont les seuls qui contiennent les variables $x',\,y',\,z',$ et diviser ensuite ces quantités par $\mathrm {m} '\,;$ ainsi, dans l’équation générale, on pourra substituer $\mathrm {T} '$ et $\mathrm {V} '$ à la place de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V} ,$ en faisant

$\mathrm {T} '={\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{2dt^{2}}},$

et

$\mathrm {V} '=\mathrm {m} \int \mathrm {R} 'd\rho '+\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}+\ldots ,$

et l’on aura, pour chacune des trois coordonnées de l’orbite de $\mathrm {m} '$ autour du centre commun de gravité, une équation de la forme

$d{\frac {\delta \mathrm {T} '}{\delta d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} '}{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} '}{\delta \xi }}=0,$

$\xi$ étant une quelconque de ces coordonnées.

117. S’il n’y avait que deux corps $\mathrm {m}$ et $\mathrm {m} ',$ la valeur de $\mathrm {V} '$ se réduirait au seul terme $\mathrm {m} \int \mathrm {R} 'd\rho ',$ et l’on aurait $\delta \mathrm {V'=mR'} \delta \rho ',$ $\mathrm {R} '$ étant supposé fonction de $\rho .$

Pour avoir la valeur de $\delta \mathrm {V} '$ relative à $\xi ,$ il faut différentier la variable

$\rho '={\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}},$

en ne faisant varier que $x',y',z',$ et ensuite y substituer pour $x,\,y,\,z$ leurs valeurs

$x=-{\frac {\mathrm {m} 'x'}{\mathrm {m} }},\quad y=-{\frac {\mathrm {m} 'y'}{\mathrm {m} }},\quad z=-{\frac {\mathrm {m} 'z'}{\mathrm {m} }}.$

On aura ainsi

$\delta \rho '=\mathrm {\frac {m+m'}{m}} {\frac {x'\delta x'+y'\delta y'+z'\delta z'}{\rho '}}.$

Or, par les mêmes substitutions, on a

$\rho '=\mathrm {\frac {m+m'}{m}} {\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}.$