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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.

ticle 3 de la Section précédente,

$\mathrm {T} ={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}},\qquad \delta \mathrm {V=R\delta r+Q\delta q+P\delta p} +\ldots .$

L’équation de la surface donnera $z$ en fonction de $x$ et $y\,;$ on aura ainsi

$dz={\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\,;$

et, les variables $x$ et $y$ étant regardées comme indépendantes, chacune d’elles donnera une équation de la forme

$d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta dx}}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta x}}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta x}}=0.$

Le terme ${\frac {dx^{2}}{2dt^{2}}}$ de $\mathrm {T}$ donne sur-le-champ ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\,;$ le terme ${\frac {dz^{2}}{2dt^{2}}},$ qui est censé fonction de $x,y$ et de $dx,dy,$ donnera d’abord ces deux-ci

${\frac {d\left(dz{\cfrac {\partial z}{\partial x}}\right)}{dt^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\delta }{\delta x}}{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\,;$

or ${\frac {\partial z}{\partial x}}$ est la même chose que ${\frac {\delta z}{\delta x}},$ et ${\frac {1}{2}}{\frac {\delta }{\delta x}}dz^{2}$ est ${\frac {dz\delta dz}{\delta x}}$ ou ${\frac {dz\,d\delta z}{\delta x}}\,;$ donc les deux termes dont il s’agit se réduiront à ${\frac {d^{2}z\delta z}{dt^{2}\delta x}}\,:$ ainsi l’équation relative à $x$ sera

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\delta z}{\delta x}}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta x}}=0\,;$

et l’on aura pareillement, par rapport à $y,$

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\delta z}{\delta y}}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta y}}=0.$

Si le corps était contraint de se mouvoir sur une ligne donnée, alors $y$ et $z$ seraient fonctions de $x\,;$ le terme ${\frac {dy^{2}}{2dt^{2}}}$ de $\mathrm {T}$ donnerait les termes

${\frac {d\left(dy{\cfrac {dy}{dx}}\right)}{dt^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\delta }{\delta x}}{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}},$