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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

lesquels se réduiraient de la même manière à ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {\delta y}{\delta x}}\,;$ de même, le terme ${\frac {dz^{2}}{2dt^{2}}}$ donnerait ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\delta z}{\delta x}},$ et l’on aurait, relativement à $x,$ qui est la seule variable, l’équation

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {\delta y}{\delta x}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\delta z}{\delta x}}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta x}}=0.$

On voit, par l’analyse précédente, que tout terme de la quantité $\mathrm {T}$ qui sera de la forme $k{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}},$ $z$ étant une fonction donnée des deux autres variables $x$ et $y,$ donnera

${\begin{aligned}d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta dx}}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta x}}=&2k{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\delta z}{\delta x}},\\d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta dy}}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta y}}=&2k{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\delta z}{\delta y}},\end{aligned}}$

réductions qui peuvent être utiles dans plusieurs occasions.

11. Si, au lieu des coordonnées rectangles $x,\,y,\,z,$ on voulait employer, pour la surface, un rayon $r$ avec deux angles $\varphi$ et $\psi ,$ comme dans l’article 4 de la Section précédente, on aurait

$\mathrm {T} ={\frac {r^{2}\left(d\psi ^{2}+\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}\right)+dr^{2}}{2dt^{2}}},$

où $r$ serait donné en fonction de $\psi$ et $\varphi$ par la nature de la surface, et l’on aurait, relativement à $\psi$ et $\varphi ,$ deux équations de la forme

$d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}=0.$

Le terme ${\frac {dr^{2}}{2dt^{2}}}$ de $\mathrm {T}$ donnerait ${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}{\frac {\delta r}{\delta \psi }}$ relativement à $\psi ,$ et ${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}{\frac {\delta r}{\delta \varphi }}$ relativement à $\varphi \,;$ et l’on aurait ces deux équations

${\begin{aligned}&d{\frac {r^{2}d\psi }{dt^{2}}}+{\frac {r^{2}\sin \psi \cos \psi d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}{\frac {\delta r}{\delta \psi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}=0,\\&d{\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}{\frac {\delta r}{\delta \varphi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}=0,\end{aligned}}$