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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.

cette quantité, prise avec le signe $-,$ sera identique avec la quantité qui est sous le signe dans les deux dernières équations de l’article précédent.

Or on a, en réduisant,

$\cos \alpha +\cos \beta +{\frac {\mathrm {E} r}{2\mathrm {g} }}={\frac {1+\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}\,;$

donc la quantité dont il s’agit sera

$-{\frac {2\mathrm {g} }{r}}(\cos \psi -\cos \alpha )(\cos \psi -\cos \beta )\left(\cos \beta +{\frac {1+\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}\right).$

17. Supposons maintenant

$\cos \psi =\cos \alpha \sin ^{2}\sigma +\cos \beta \cos ^{2}\sigma \,;$

il est clair que la valeur $\beta$ de $\psi ,$ qui est supposée la plus petite, répondra à $\sigma =0,\,2\pi ,\,4\pi ,\ldots ,$ et que la valeur $\alpha ,$ qui est la plus grande, répondra à $\sigma ={\frac {\pi }{2}},\,{\frac {3\pi }{2}},\,{\frac {5\pi }{2}},\ldots ,$ $\pi$ étant l’angle de deux droits. On aura ainsi

${\begin{aligned}&\cos \psi -\cos \alpha =(\cos \beta -\cos \alpha )\cos ^{2}\sigma ,\\&\cos \psi -\cos \beta =(\cos \alpha -\cos \beta )\sin ^{2}\sigma ,\\&\cos \psi +{\frac {1+\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}={\frac {1+2\cos \alpha \cos \beta +\cos ^{2}\alpha \sin ^{2}\sigma +\cos ^{2}\beta \cos ^{2}\sigma }{\cos \alpha +\cos \beta }}\,;\end{aligned}}$

d’ailleurs on a

$\sin \psi d\psi =-d\cos \psi =2(\cos \beta -\cos \alpha )\sin \sigma \cos \sigma d\sigma \,;$

donc, faisant ces substitutions dans l’équation différentielle en $t$ et $\psi$ de l’article précédent, elle deviendra

$dt={\frac {2d\sigma {\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta }}}{\sqrt {{\cfrac {2\mathrm {g} }{r}}\left(1+2\cos \alpha \cos \beta +\cos ^{2}\alpha \sin ^{2}\sigma +\cos ^{2}\beta \cos ^{2}\sigma \right)}}}\,;$

et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\varkappa ^{2}=&{\frac {\cos \alpha +\cos \beta }{2+4\cos \alpha \cos \beta +\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta }},\\\Sigma \,\ =&{\sqrt {1+\varkappa ^{2}(\cos \beta -\cos \alpha )\cos 2\sigma }},\end{aligned}}$