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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

elle se réduira à :

$dt={\sqrt {\frac {r}{\mathrm {g} }}}{\frac {2\varkappa d\sigma }{\Sigma }}.$

Ensuite on aura

${\begin{aligned}d\varphi =&{\frac {\mathrm {C} dt}{\sin ^{2}\psi }}={\sqrt {\frac {2\mathrm {g} }{r}}}{\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta }}}{\frac {dt}{\sin ^{2}\psi }}\\=&{\frac {\varkappa {\sqrt {2}}\sin \alpha \sin \beta }{\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta }}}\left[{\frac {d\sigma }{(1+\cos \psi )\Sigma }}+{\frac {d\sigma }{(1-\cos \psi )\Sigma }}\right],\end{aligned}}$

où il faudra substituer pour $\cos \psi$ sa valeur en $\cos 2\sigma ,$

$\cos \psi ={\frac {1}{2}}(\cos \alpha +\cos \beta )+{\frac {1}{2}}(\cos \beta -\cos \alpha )\cos 2\sigma .$

En intégrant ces équations depuis $\sigma =0$ jusqu’à $\sigma ={\frac {\pi }{2}},$ on aura le temps et l’angle de rotation compris entre le point le plus bas, où l’inclinaison du pendule à la verticale est $\beta ,$ et le point le plus haut, où l’inclinaison est $\alpha \,;$ mais ces intégrations dépendent, en général, de la rectification des sections coniques. Si la valeur de $\varphi$ comprise entre ces deux limites de $\sigma$ est commensurable avec $\pi ,$ la spirale décrite par le pendule reviendra sur elle-même après un certain nombre de spires mais, si elle est incommensurable, la spirale fera une infinité de révolutions différentes.

18. Lorsque le pendule ne fera en hauteur que des excursions assez petites, de manière que les angles $\alpha$ et $\beta$ diffèrent peu entre eux, la différence $\cos \beta -\cos \alpha$ sera elle-même assez petite pour que le radical $\Sigma$ puisse se réduire en une série convergente.

Supposons

$\varkappa ^{2}(\cos \beta -\cos \alpha )=\sin 2\gamma ={\frac {2\operatorname {tang} \gamma }{1+\operatorname {tang} ^{2}\gamma }}\,;$

la fonction $\Sigma$ deviendra

$\Sigma =\cos \gamma {\sqrt {1+\operatorname {tang} ^{2}\gamma +2\operatorname {tang} \gamma \cos 2\sigma }}.$

La fonction irrationnelle

$\left(1+\operatorname {tang} ^{2}\gamma +2\operatorname {tang} \gamma \cos 2\sigma \right)^{-{\frac {1}{2}}}$