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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

22. Les formules précédentes ont lieu tant que l’angle différe de l’angle $\beta ,$ parce que, quelque petite que soit leur différence, il y a toujours un maximum et un minimum dans les excursions verticales du pendule ; mais, si l’on a rigoureusement $\alpha =\beta ,$ il n’y a plus de maximum ni de minimum, le pendule forme toujours le même angle $\alpha$ avec la verticale, et, par conséquent, il décrira, dans son mouvement, un cône à base circulaire.

Cette supposition est possible, parce qu’alors (art. 16 et 17) la quantité qui est sous le radical, dans la valeur de $dt,$ a deux facteurs égaux, $\cos \psi -\cos \alpha \,;$ de sorte que, par la théorie exposée dans l’article 83 de la Section précédente, on pourra^[1] toujours faire $\cos \psi =\cos \alpha \,;$ c’est le cas des oscillations coniques que Huygens a considérées le premier.

Dans ce cas, l’équation (art. 4)

$d\varphi ={\frac {\mathrm {C} dt}{\sin ^{2}\psi }}={\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{r\cos \alpha }}}dt$

donnera

$\varphi =t{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{r\cos \alpha }}}\,;$

de sorte que le temps d’une révolution entière du pendule sera exprimé par $2\pi {\sqrt {\frac {r\cos \alpha }{\mathrm {g} }}}.$

Pour que ce cas ait lieu, il faut donc que le pendule reçoive une vitesse angulaire de rotation, autour de la verticale, exprimée par

${\frac {d\varphi }{dt}}={\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{r\cos \alpha }}},$

laquelle ne dépend que de la hauteur du cône qu’il décrit.

23. Si le pendule était mû dans un milieu résistant comme le carré de la vitesse, et dont la densité fût exprimée par $\Gamma ,$ il faudrait, pour avoir les équations de son mouvement, à $\delta \mathrm {V}$ ajouter les termes (art. 2)

$\Gamma ds\left({\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}\delta \psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\varphi }}\delta \varphi \right),$

1. Il faut lire : on devra toujours faire $\cos \psi =\cos \alpha .$ (J. Bertrand.)