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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.

en retenant l’expression de $\mathrm {T}$ de l’article 11, dans laquelle $r$ est constant.

Ainsi l’on aura à ajouter, au premier membre de la première des équations différentielles de cet article, le terme ${\frac {\Gamma ds\,d\psi }{dt^{2}}},$ et au premier membre de la seconde, le terme ${\frac {\Gamma \sin ^{2}\psi ds\,d\varphi }{dt^{2}}}.$

Par l’addition de ces termes, les équations qui étaient intégrables cesseront de l’être ; mais, lorsque la résistance est très petite à l’égard de la force de la gravité, ce qui a lieu dans les mouvements lents des corps dans l’air, on peut résoudre ces équations par approximation, en substituant, dans les termes dus à la résistance, les valeurs de $\psi$ et $\varphi$ en $t$ qui ont lieu dans le vide, et en cherchant les petites quantités que ces termes tout connus ajouteront à ces mêmes valeurs.

Les deux équations dont il s’agit seront

${\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}-{\frac {\sin \psi \cos \psi d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {g} }{r}}\sin \psi +{\frac {\Gamma dsd\psi }{dt^{2}}}=0,$

${\frac {d\left(\sin ^{2}\psi d\varphi \right)}{dt^{2}}}+{\frac {\Gamma \sin ^{2}\psi dsd\varphi }{dt^{2}}}=0.$

La seconde, étant divisée par ${\frac {\sin ^{2}d\psi d\varphi }{dt^{2}}}$ et ensuite intégrée, donne

${\frac {\sin ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {C} i^{-\Gamma s},$

$i$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est $1.$

Ensuite la première, étant multipliée par $2d\psi$ et ajoutée à la seconde multipliée par $2d\varphi ,$ donne l’intégrale

${\frac {d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2\mathrm {g} \cos \psi }{r}}+{\frac {2\Gamma }{r^{2}}}\int {\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}ds=\mathrm {E} ,$

à cause de $r^{2}\left(d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi d\varphi ^{2}\right)=ds^{2}.$

Ainsi l’on aura les mêmes équations différentielles en $t,\,\varphi$ et $\psi$ qu’on a trouvées dans l’article 11, en y substituant $\mathrm {C} i^{-\Gamma s}$ à la place de $\mathrm {C} ,$ et $\mathrm {E} -{\frac {2\Gamma }{r^{2}}}\int {\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}ds$ à la place de $\mathrm {E} \,;$ de sorte que l’effet de la résistance se