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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

réduira à faire varier ces constantes dans la solution générale donnée plus haut (art. 13), où nous n’avons point eu égard à la résistance, et où les relations entre les variables $\psi ,\varphi$ et $t$ doivent se déduire des équations

${\frac {\sin ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {C} ,\qquad {\frac {d\psi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} ^{2}}{\sin ^{2}\psi }}-2{\frac {\mathrm {g} }{r}}\cos \psi =\mathrm {E} .$

Si donc on regarde les quantités $\mathrm {C}$ et $\mathrm {E}$ comme variables, on aura

$d\mathrm {C} =\Gamma \mathrm {C} ds,\qquad d\mathrm {E} =-{\frac {2\Gamma }{r^{2}}}{\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}ds=-{\frac {2\Gamma }{r^{2}}}\left(\mathrm {E} +{\frac {2\mathrm {g} }{r}}\cos \psi \right)ds$

et

$ds={\frac {\sin \psi {\sqrt {\mathrm {E} +{\cfrac {2\mathrm {g} }{r}}\cos \psi }}}{{\sqrt {\mathrm {E} +{\cfrac {2\mathrm {g} }{r}}\cos \psi }}\sin ^{2}\psi -\mathrm {C} ^{2}}}d\psi .$

Lorsque le pendule ne fait que des oscillations verticales, on a $\mathrm {C} =0$ et, par conséquent, $ds=d\psi \,;$ l’équation en $\mathrm {E}$ devient alors intégrable, étant multipliée par $i^{\frac {2\Gamma \psi }{r^{2}}}\,;$ l’intégrale est

$\mathrm {E} i^{\frac {2\Gamma \psi }{r^{2}}}=(\mathrm {E} )-{\frac {2\Gamma }{r^{2}}}\int i^{\frac {2\Gamma \psi }{r^{2}}}\cos \psi d\psi ,$

$(\mathrm {E} )$ étant une constante arbitraire qui remplace la constante $\mathrm {E} ,$ devenue variable. Or on trouvera, par des intégrations par parties,

$\int i^{\frac {2\Gamma \psi }{r^{2}}}\cos \psi d\psi ={\frac {i^{\frac {2\Gamma \psi }{r^{2}}}\left(\sin \psi -{\cfrac {2\Gamma }{r^{2}}}\cos \psi \right)}{1+{\cfrac {4\Gamma ^{2}}{r^{2}}}}}\,;$

donc on aura

$\mathrm {E} =(\mathrm {E} )i^{-{\frac {2\Gamma \psi }{r^{2}}}}-{\frac {2\Gamma }{r^{2}+4\Gamma ^{2}}}\left(\sin \psi -{\frac {2\Gamma }{r^{2}}}\cos \psi \right)\,;$

c’est la valeur qu’il faudra substituer à la place de $\mathrm {E}$ dans l’équation différentielle qui donne la valeur de $t$ en $\psi \,;$ et, en supposant le coefficient $\Gamma$ très petit, on aura facilement l’altération produite dans la valeur du temps $t$ par la résistance du milieu.