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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.

24. Dans le cas du pendule, en prenant, comme nous venons de le faire, $r,\,\varphi ,\,\psi$ pour les trois coordonnées, on a l’équation $r=a,$ $a$ étant la longueur donnée du pendule ; donc, par l’article 14, en changeant $\xi$ en $r,$ on aura tout de suite la valeur de $\lambda ,$ qui exprimera la force avec laquelle le fil qui retient le corps sur la surface sphérique est tendu.

Cette force sera donc exprimée par

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta r}}-d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta dr}}-{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta r}},$

en substituant pour $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ leurs valeurs complètes

$\mathrm {T} ={\frac {r^{2}\left(d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi d\varphi ^{2}\right)+dr^{2}}{2dt^{2}}},\qquad \mathrm {V} =-\mathrm {g} r\cos \psi \,;$

et, faisant ensuite $r$ constant, on aura ainsi

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta dr}}=0,\quad {\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta r}}={\frac {r\left(d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi d\varphi ^{2}\right)}{dt^{2}}},\quad {\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta r}}=-\cos \psi ,$

et, par conséquent,

$\lambda ={\frac {r\left(d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi d\varphi ^{2}\right)}{dt^{2}}}+\mathrm {g} \cos \psi ={\frac {2\mathrm {T} }{r}}-{\frac {\mathrm {V} }{r}},$

où l’on remarquera que $2\mathrm {T} =u^{2}$ (art. 12) ; de sorte que la tension du fil qui forme le pendule sera exprimée par ${\frac {u^{2}}{r}}+\mathrm {g} \cos \psi .$

Quand le pendule se meut dans le vide, on a, par le même article, $c$ étant la vitesse lorsque $\psi =0,$

$u^{2}=2(\mathrm {H-V} )=c^{2}-2\mathrm {g} r(1-\cos \psi )\,;$

et la tension, désignée par $\lambda ,$ aura pour valeur

$\lambda ={\frac {c^{2}}{r}}-\mathrm {g} (2-3\cos \psi ).$

25. Nous avons supposéjusqu’ici la longueur du pendule invariable ; mais, si cette longueur variait d’un moment à l’autre, suivant une loi