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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

connue, en sorte que $r$ fût une fonction donnée de $t,$ il faudrait alors supposer $r$ variable dans les équations différentielles ; mais on aurait également $\delta r=0,$ comme dans le cas de $r$ constant : ainsi on poserait les équations

$\mathrm {T} ={\frac {r^{2}\left(\sin ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{2dt^{2}}},\quad \mathrm {V} =-\mathrm {g} r\cos \psi \,;$

l’équation relative à $r$ n’aurait pas lieu, mais les deux autres deviendraient

${\frac {d\left(r^{2}d\psi \right)}{dt^{2}}}-{\frac {r^{2}\sin \psi \cos \psi d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {g} r\sin \psi =0,\quad d{\frac {r^{2}\sin ^{2}\psi d\varphi }{dt^{2}}}=0.$

Enfin, si le fil qui soutient le corps était élastique et extensible, en nommant $\operatorname {F}$ la force avec laquelle le fil tend à se raccourcir, et qui ne peut être qu’une fonction de $r,$ il n’y aurait qu’à ajouter $\mathrm {F} \delta r$ à $\delta \mathrm {V} ,$ et l’on aurait, pour l’équation relative à $r,$

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {r\left(\sin ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{dt^{2}}}+\mathrm {F} -\mathrm {g} \cos \psi =0,$

les deux autres demeurant les mêmes ; et, dans ce cas, on aurait toujours l’intégrale

$\mathrm {T+V=H} ,\qquad {\text{où}}\qquad \mathrm {V} =\int \mathrm {F} dr-\mathrm {g} r\cos \psi .$

§ II. — Du mouvement d’un corps pesant sur une surface quelconque
de révolution.

26. L’axe de révolution étant pris dans l’axe des $z,$ si l’on fait

$x=\rho \cos \varphi ,\qquad y=\rho \sin \varphi ,$

$z$ sera l’abscisse et $\rho$ l’ordonnée de la courbe qui, par sa révolution autour de l’axe des abscisses, forme le solide proposé. Ainsi l’on aura une équation entre $z$ et $\rho ,$ par laquelle $z$ sera une fonction donnée de $\rho .$