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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.

Si, maintenant, on suppose l’axe des $z$ vertical et les ordonnées $z$ dirigées de haut en bas, on aura

$\mathrm {T} ={\frac {\rho ^{2}d\varphi ^{2}+d\rho ^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}},\quad \mathrm {V} =-\mathrm {g} z,$

et, prenant $\rho$ et $\varphi$ pour les deux variables indépendantes, on aura tout de suite (art. 11) les deux équations relatives à ces variables,

${\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}-{\frac {\rho d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+\left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-\mathrm {g} \right){\frac {\delta z}{\delta \rho }}=0,\quad d{\frac {\rho ^{2}d\varphi }{dt^{2}}}=0.$

Si l’axe des $z$ n’était pas vertical, mais incliné à la verticale de l’angle $\alpha ,$ la valeur de $\mathrm {T}$ demeurerait la même, mais celle de $\mathrm {V}$ deviendrait $-\mathrm {g} (z\cos \alpha -x\sin \alpha )\,;$ de sorte qu’il n’y aurait qu’à changer dans la première équation $\mathrm {g}$ en $\mathrm {g} \cos \alpha ,$ et ajouter à son premier membre le terme $\mathrm {g} \sin \alpha \cos \varphi ,$ et ajouter aussi au premier membre de la seconde le terme $\mathrm {g} \sin \alpha \sin \varphi .$

En général, quelque changement qu’on fasse à la position de la surface ou de la ligne sur laquelle le corps se meut, la valeur de $\mathrm {T}$ d’où naissent les termes différentiels de l’équation ne change pas ; il n’y a que celle de $\mathrm {V}$ qui dépend de la position de la surface ou de la ligne.