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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

Ajoutant leurs carrés ensemble et extrayant ensuite la racine, on a (art. 6)

${\frac {\xi d\eta -\eta d\xi }{dt}}=\mathrm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}} ={\frac {\mathrm {C} }{\cos i}}=\mathrm {D} \,;$

de sorte que les valeurs des constantes $\mathrm {A,B,C}$ seront

$\mathrm {C=D} \cos i,\quad \mathrm {B=-D} \sin i\cos h,\quad \mathrm {A=D} \sin i\sin h.$

Or, désignant par $\Phi +k,$ comme dans l’article 7, l’angle que le rayon $r$ fait avec la ligne d’intersection du plan de l’orbite et du plan fixe des $xy,$ il est clair qu’on aura

$\xi =r\cos(\Phi +k),\quad \eta =r\sin(\Phi +k),$

et la dernière des équations précédentes deviendra

$r^{2}d\Phi =\mathrm {D} dt,$

laquelle donne le théorème connu des secteurs $\int r^{2}d\Phi$ proportionnels au temps $t.$

Substituant la valeur de $dt,$ on aura

$d\Phi ={\frac {\mathrm {D} dr}{r^{2}{\sqrt {2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\dfrac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}}}}},$

comme dans l’article cité.

Ainsi le problème est de nouveau réduit à l’intégration des deux équations séparées en $t,\,\Phi$ et $r$ que nous avions déjà trouvées ci-dessus (art. 6 et 7) ; mais cette intégration dépend de l’expression de la force centrale $\mathrm {R}$ en fonction du rayon $r.$

12. On voit, par ces équations, que ce rayon sera le plus grand ou le plus petit, soit relativement au temps $t,$ soit relativement à l’angle $\Phi ,$ lorsqu’il sera déterminé par l’équation

$2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}=0.$

Supposons qu’en intégrant ces mêmes équations on prenne les inté-