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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
grales en
de leurs seconds membres, de manière qu’elles commencent au point où
est un minimum, et que l’angle
commence aussi à ce point ; l’angle
sera alors celui que le rayon qui passe par le même point fera avec la ligne d’intersection de l’orbite avec le plan fixe (art. 7) ; et cette constante
jointe à celle que l’intégration peut ajouter à
et aux constantes
ou
complétera le nombre des six constantes arbitraires que l’intégration des trois équations différentielles en
et
doit donner.
13. Si maintenant on fait
![{\displaystyle \mathrm {X} =r\cos \Phi ,\qquad \mathrm {Y} =r\sin \Phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343cb26e79b7680150beb7c7bcc263e6ccc98df6)
il est clair que
et
seront les coordonnées rectangles de la courbe, placées dans son plan et ayant la même origine que le rayon
les abscisses
étant dirigées vers le point où
est un minimum ; et si l’on substitue ces quantités dans les valeurs de
et de
l’article 11, on aura
![{\displaystyle \xi =\mathrm {X} \cos k-\mathrm {Y} \sin k,\qquad \eta =\mathrm {Y} \cos k+\mathrm {X} \sin k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade006bd7f743f4584d85a9a6faa207e3e1fcfa7)
Substituons ces valeurs dans celles de
du même article et faisons, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \,\ =&+\cos k\cos h-\sin k\sin \,h\cos i,\\\beta \,\ =&-\sin \,k\cos h-\cos k\sin h\cos i,\\\alpha _{1}=&+\cos k\sin \,h+\sin \,k\cos h\cos i,\\\beta _{1}=&-\sin \,k\sin \,h+\cos k\cos h\cos i,\\\alpha _{2}=&\sin \,k\sin i,\\\beta _{2}=&\cos k\sin i\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0075603fa9e96f2ea59ac5ab7074ab5bb9981c98)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\alpha \,\ \mathrm {X+\beta \,\ Y} =r(\alpha \,\ \cos \Phi +\beta \,\ \sin \Phi ),\\y=&\alpha _{1}\mathrm {X+\beta _{1}Y} =r(\alpha _{1}\cos \Phi +\beta _{1}\sin \Phi ),\\z=&\alpha _{2}\mathrm {X+\beta _{2}Y} =r(\alpha _{2}\cos \Phi +\beta _{2}\sin \Phi ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875d198c1cad76c067dbfea10b58ff50feea582c)
expressions qui ont cet avantage, que les quantités dépendantes du mouvement dans l’orbite sont séparées des quantités qui dépendent uniquement de la position de l’orbite relativement au plan fixe des ![{\displaystyle xy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0add5fb23e378ec970ad47ea154f8a6431843a8f)