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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Soient maintenant $x',\,y',\,z'$ les coordonnées pour un point déterminé du système ; on aura donc aussi

${\begin{aligned}dx'=&d\lambda +z'd\mathrm {M} -y'd\mathrm {N} ,\\dy'=&d\mu +x'd\mathrm {N} -z'd\mathrm {L} ,\\dz'=&d\nu \,+y'd\mathrm {L} \,-x'd\mathrm {M} \,;\end{aligned}}$

par conséquent, si l’on retranche ces formules des précédentes et qu’on fasse, pour plus de simplicité,

$x=x'+\xi ,\qquad y=y'+\eta ,\qquad z=z'+\zeta ,$

on aura ces équations différentielles

$d\xi =\zeta \,d\mathrm {M} -\eta \,d\mathrm {N} ,\qquad d\eta =\xi \,d\mathrm {N} -\zeta \,d\mathrm {L} ,\qquad d\zeta =\eta \,d\mathrm {L} -\xi \,d\mathrm {M} ,$

dans lesquelles les variables $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ représenteront les coordonnées des différents points du système, prises depuis un point déterminé du même système, point que nous nommerons dorénavant le centre du système.

Ces équations étant linéaires et du premier ordre seulement, il suit de la théorie connue de ces sortes d’équations que, si l’on désigne par $\xi ',\,\xi '',\,\xi '''$ trois valeurs particulières de $\xi$ et par $\eta ',\,\eta '',\,\eta ''$ et $\zeta ',\,\zeta '',\,\zeta '''$ les valeurs correspondantes de $\eta$ et $\zeta ,$ on aura les intégrales complètes

${\begin{aligned}\xi =&a\xi '+b\xi ''+c\xi ''',\\\eta =&a\eta '+b\eta ''+c\eta ''',\\\zeta =&a\zeta '+b\zeta ''+c\zeta ''',\end{aligned}}$

$a,b,c$ étant trois constantes arbitraires.

Il est clair que $\xi ',\,\eta ',\,\zeta '$ ne sont autre chose que les coordonnées d’un point quelconque donné du système, et que de même $\xi '',\,\eta '',\,\zeta ''$ et $\xi ''',\,\eta ''',\,\zeta '''$ sont les coordonnées de deux autres points du système aussi donnés à volonté, ces coordonnées ayant leur origine commune dans le centre du système.

Ainsi, en connaissant les coordonnées pour trois points donnés, on aura, par les formules précédentes, les valeurs des coordonnées pour