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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

l’origine d’une quantité $1$ et placés au commencement sur les axes des coordonnées rectangles $a,\,b,\,c,\ldots$ on aura premièrement ces trois équations

$\xi '^{2}+\eta '^{2}+\zeta '^{2}=1,\quad \xi ''^{2}+\eta ''^{2}+\zeta ''^{2}=1,\quad \xi '''^{2}+\eta '''^{2}+\zeta '''^{2}=1.$

Ensuite, à cause que les distances mutuelles de ces points sont les hypoténuses de triangles rectangles dont les côtés sont $1,$ on aura

${\begin{aligned}(\xi '\,-\xi ''\,)^{2}+(\eta '\,-\eta ''\ )^{2}+(\zeta '\ -\zeta ''\ )^{2}=&2,\\(\xi '\ -\xi ''')^{2}+(\eta '\,-\eta ''')^{2}+(\zeta '\ -\zeta ''')^{2}=&2,\\(\xi ''-\xi ''')^{2}+(\eta ''-\eta ''')^{2}+(\zeta ''-\zeta ''')^{2}=&2\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire ces trois équations

$\xi '\xi ''+\eta '\eta ''+\zeta '\zeta ''=0,\quad \xi '\xi '''+\eta '\eta '''+\zeta '\zeta '''=0,\quad \xi ''\xi '''+\eta ''\eta '''+\zeta ''\zeta '''=0.$

Ainsi l’on a, entre les neuf coefficients $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',\,\eta ',\,\eta '',\ldots ,$ six équations de condition par lesquelles ils se réduisent à trois indéterminées.

4. Au moyen de ces équations, les expressions générales des coordonnées $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ de l’article 1 satisfont à la condition primitive que la distance entre deux points quelconques du système demeure invariable. En effet, si $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ sont les coordonnées d’un de ces points, et $\xi _{1},\,\eta _{1},\,\zeta _{1}$ les coordonnées d’un autre point, le carré de leur distance sera exprimé par

$(\xi -\xi _{1})^{2}+(\eta -\eta _{1})^{2}+(\zeta -\zeta _{1})^{2}\,;$

et si l’on désigne par $a_{1},\,b_{1},\,c_{1}$ les coordonnées relatives aux axes des $a,b,c$ pour le second point, on aura les valeurs de $\xi _{1},\,\eta _{1},\,\zeta _{1}$ en changeant $a,\,b,\,c$ en $a_{1},\,b_{1},\,c_{1}$ dans celles de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta .$

Faisant ces substitutions dans l’expression précédente, et ayant égard aux six équations de condition, elle se réduira à

$(a-a_{1})^{2}+(b-b_{1})^{2}+(c-c_{1})^{2}$

et sera, par conséquent, constante pendant le mouvement. D’où l’on peut conclure que ces six équations de condition sont les seules néces-