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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

saires pour faire en sorte que la position respective des différents points du système ne dépende que des constantes $a,\,b,\,c,\ldots$ et nullement des variables $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',\ldots .$

Au reste, il est clair que les coordonnées $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ ne sont que les transformations des coordonnées $a,\,b,\,c,\ldots$ et que les six équations de condition sont le résultat de la condition générale

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}\,;$

c’est ce qu’on voit par la comparaison de ces formules avec celles de l’article 15 de la Section III de la I^re Partie, dans lesquelles les coordonnées $x,\,y,\,z,$ $x',\,y',\,z'$ répondent à $\xi ,\eta ,\zeta ,a,b,c,$ et les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha ',\,\beta ',\,\gamma ',$ $\alpha '',\beta '',\gamma ''$ répondent à $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',\,\eta ',\,\eta '',\,\eta ''',$ $\zeta ',\,\zeta '',\,\zeta '''.$

5. Si l’on ajoute ensemble les expressions de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ de l’article 1, après les avoir multipliées respectivement par $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',$ ensuite par $\xi '',\,\eta '',\,\zeta '',$ et enfin par $\xi ''',\,\eta ''',\,\zeta ''',$ on aura tout de suite, par les équations de condition de l’article 3, ces formules inverses

${\begin{aligned}a=&\xi \xi '\ \,+\eta \eta '\ \ +\zeta \zeta ',\\b=&\xi \xi ''\,+\eta \eta ''\ +\zeta \zeta '',\\c=&\xi \xi '''+\eta \eta '''+\zeta \zeta '''\,;\end{aligned}}$

et ces valeurs de $a,\,b,\,c$ étant substituées dans l’équation

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2},$

qui doit avoir lieu, quelles que soient les valeurs de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ donneront, par la comparaison des termes, ces nouvelles équations de condition

${\begin{alignedat}{3}\xi '^{2}\ \,+\xi ''^{2}\ \ \,+\xi '''^{2}\,\ \ \ =&1,\quad &\eta '^{2}\ \ +\eta ''^{2}\ \ +\eta '''^{2}\ \ \ =&1,\quad &\zeta '^{2}\ \ +\zeta ''^{2}\ \ \,+\zeta '''^{2}\,\ \ \ =&1,\\\xi '\eta '+\xi ''\eta ''+\xi '''\eta '''=&0,&\xi '\zeta '+\xi ''\zeta ''+\xi '''\zeta '''=&0,&\eta '\zeta '+\eta ''\zeta ''+\eta '''\zeta '''=&0,\end{alignedat}}$

lesquelles sont nécessairement une suite de celles de l’article 3, puisque les unes et les autres résultent également de cette condition générale

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}.$