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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

En second lieu, si l’on désigne par $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ les coordonnées rectangles de chaque élément $\operatorname {D} m,$ prises depuis le centre de gravité et parallèles aux mêmes axes des coordonnées $x',\,y',\,z'$ de ce centre, on aura ces trois autres équations (Section citée, art. 12)

_S$\left(\xi {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}-\eta {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\xi \mathrm {Y} -\eta \mathrm {X} \right)\operatorname {D} m=0,$

_S$\left(\xi {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}-\zeta {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\xi \mathrm {Z} -\zeta \mathrm {X} \right)\operatorname {D} m=0,$

_S$\left(\eta {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}-\zeta {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+\eta \mathrm {Z} -\zeta \mathrm {Y} \right)\operatorname {D} m=0.$

Or nous avons prouvé, dans le paragraphe précédent, que les valeurs des quantités $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ sont toujours de cette forme

${\begin{aligned}\xi =&a\xi '+b\xi ''+c\xi ''',\\\eta =&a\eta '+b\eta ''+c\eta ''',\\\zeta =&a\zeta '+b\zeta ''+c\zeta '''\,;\end{aligned}}$

et nous y avons vu que, pour les corps solides, les quantités $a,\,b,\,c$ sont nécessairement constantes par rapport au temps et variables uniquement par rapport aux différents éléments $\operatorname {D} m,$ puisque ces quantités représentent les coordonnées rectangles de chacun de ces éléments, rapportées à trois axes qui se croisent dans le centre du corps et qui sont fixes dans son intérieur ; qu’au contraire les quantités $\xi ',\,\xi '',\ldots$ sont variables par rapport au temps, et constantes pour tous les éléments du corps, ces quantités étant toutes des fonctions de trois angles $\varphi ,\,\psi ,\,\omega$ qui déterminent les différents mouvements de rotation que le corps a autour de son centre. Si donc on fait, dans les équations précédentes, ces différentes substitutions, en ayant soin de faire sortir hors des signes _S les variables $\varphi ,\,\psi ,\,\omega$ et leurs différences, on aura trois équations différentielles du second ordre entre ces mêmes variables et le temps $t,$ lesquelles serviront à les déterminer toutes trois en fonctions de $t.$

Ces équations seront semblables à celles que M. d’Alembert a trouvées le premier, pour le mouvement de rotation d’un corps de figure