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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

points du corps, puisque ce sont les coordonnées du centre du corps, la fonction $\mathrm {T}$ deviendra

${\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{2dt^{2}}}$ _S $\operatorname {D} m+$ _S $\left({\frac {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}}{2dt^{2}}}\right)\operatorname {D} m$

$dx'$_S$d\xi \operatorname {D} m+dy'$_S$d\eta \operatorname {D} m+dz'$_S$d\zeta \operatorname {D} m$

$+\ {\overline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}$.

$dt^{2}$

Cette expression est composée, comme l’on voit, de trois parties, dont la première ne contient que les seules variables $x',\,y',\,z'$ et exprime la valeur de $\mathrm {T}$ dans le cas où le corps serait regardé comme un point. Si donc ces variables sont indépendantes des autres variables $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ ce qui a lieu lorsque le corps est libre de tourner en tous sens autour de son centre, la formule dont il s’agit devra être traitée séparément, et fournira pour le mouvement de ce centre les mêmes équations que si le corps y était concentré ; ainsi cette partie du pro blème rentre dans celui que nous avons résolu dans les Sections précédentes, et auquel nous renvoyons.

La troisième partie de l’expression précédente, celle qui contient les différences $dx',\,dy',\,dz'$ multipliées par les différences $d\xi ,\,d\eta ,\,d\zeta$ disparaît d’elle-même dans deux cas : lorsque le centre du corps est fixe, ce qui est évident, parce qu’alors les différences $dx',\,dy',\,dz'$ des coordonnées de ce centre sont nulles ; et lorsque ce centre est supposé placé dans le centre même de gravité du corps, car alors les intégrales _S$d\xi \operatorname {D} m,$ _S$d\eta \operatorname {D} m,$ _S$d\zeta \operatorname {D} m$ deviennent nulles d’elles-mêmes. En effet, en y substituant pour $d\xi ,\,d\eta ,\,d\zeta$ leurs valeurs $a\,d\xi '+b\,d\xi ''+c\,d\xi ''',$ $a\,d\eta '+b\,d\eta ''+c\,d\eta ''',$ $a\,d\zeta '+b\,d\zeta ''+c\,d\zeta '''$ (article précédent), et faisant sortir hors du signe _S les quantités $d\xi ',\,d\xi '',\ldots ,$ qui sont indépendantes de la position des particules $dm$ dans le corps, chaque terme de ces intégrales se trouvera multiplié par une de ces trois quantités, _S$a\operatorname {D} m,$ _S$b\operatorname {D} m,$ _S$c\operatorname {D} m\,;$ or ces quantités ne sont autre chose que les sommes des produits de chaque élément $\operatorname {D} m,$ multiplié par sa distance à trois plans passant par le centre du corps et perpendiculaires aux axes des coordonnées $a,\,b,\,c\,;$ elles sont donc nulles,