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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

quand ce centre coïncide avec celui de gravité de tous les corps, par les propriétés connues de ce dernier centre. Donc aussi les trois intégrales _S$d\xi \operatorname {D} m,$ _S$d\eta \operatorname {D} m,$ _S$d\zeta \operatorname {D} m,$ seront nulles dans ce cas.

Dans l’un et dans l’autre cas, il ne restera donc à considérer dans l’expression $\mathrm {T}$ que la formule

_S$\left({\frac {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}}{2dt^{2}}}\right)\operatorname {D} m,$

qui est uniquement relative au mouvement de rotation que le système peut avoir autour de son centre, et qui servira par conséquent à déterminer les lois de ce mouvement, indépendamment de celui que le centre peut avoir dans l’espace.

20. Pour rendre la solution la plus simple qu’il est possible, il est à propos de faire usage des expressions de $d\xi ,\,d\eta ,\,d\zeta$ de l’article 14, lesquelles donnent, en faisant $da=0,$ $db=0,$ $dc=0,$

${\begin{aligned}d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}=&(cd\mathrm {Q} -bd\mathrm {R} )^{2}+(ad\mathrm {R} -cd\mathrm {P} )^{2}+(bd\mathrm {P} -ad\mathrm {Q} )^{2}\\=&\left(b^{2}+c^{2}\right)d\mathrm {P} ^{2}+\left(a^{2}+c^{2}\right)d\mathrm {Q} ^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right)d\mathrm {R} ^{2}\\&-2bcd\mathrm {Q} d\mathrm {R} -2acd\mathrm {P} d\mathrm {R} -2abd\mathrm {P} d\mathrm {Q} .\end{aligned}}$

Or, les quantités $a,b,c$ étant ici les seules variables, relativement à la position des particules $\operatorname {D} m$ dans le corps, il s’ensuit que, pour avoir la valeur de _S$\left(d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\right)\operatorname {D} m,$ il n’y aura qu’à multiplier chaque terme de la quantité précédente par $\operatorname {D} m$ et intégrer ensuite relativement à la caractéristique _S, en faisant sortir hors de ce signe les quantités $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R} ,$ qui en sont indépendantes. Ainsi la quantité _S$\left({\frac {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}}{2dt^{2}}}\right)\operatorname {D} m$ deviendra

${\frac {\mathrm {A} d\mathrm {P} ^{2}+\mathrm {B} d\mathrm {Q} ^{2}+\mathrm {C} d\mathrm {R} ^{2}}{2dt^{2}}}-{\frac {\mathrm {F} d\mathrm {Q} d\mathrm {R} +\mathrm {G} d\mathrm {P} d\mathrm {R} +\mathrm {H} d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt^{2}}},$

en faisant, pour abréger,

$\mathrm {A} =$ S$(b^{2}+c^{2})\operatorname {D} m,$		$\mathrm {B} =$ S$(a^{2}+c^{2})\operatorname {D} m,$		$\mathrm {C} =$ S$(a^{2}+b^{2})\operatorname {D} m,$
$\mathrm {F} =$ S$bc\operatorname {D} m,$		$\mathrm {G} =$ S$ac\operatorname {D} m,$		$\mathrm {H} =$ S$ab\operatorname {D} m.$