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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Ces intégrations sont relatives à toute la masse du corps, en sorte que $\mathrm {A,\,B,\,C,\,F,\,G,\,H}$ doivent être désormais regardées et traitées comme des constantes données par la figure du corps.

21. Si l’on fait, pour plus de simplicité,

${\frac {d\mathrm {P} }{dt}}=p,\qquad {\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}=q,\qquad {\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=r,$

on aura, en ne considérant dans la fonction $\mathrm {T}$ que les termes relatifs au mouvement de rotation,

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} q^{2}+\mathrm {C} r^{2}\right)-\mathrm {F} qr-\mathrm {G} pr-\mathrm {H} pq\,;$

ainsi, $\mathrm {T}$ n’étant fonction que de $p,\,q,\,r,$ on aura, en différentiant selon $\delta ,$

$\delta \mathrm {T} ={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\delta p+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\delta r.$

Or, par les formules de l’article 11, on a

${\begin{aligned}p=&{\frac {\sin \varphi \sin \omega d\psi +\cos \varphi d\omega }{dt}},\\q=&{\frac {\cos \varphi \sin \omega d\psi -\sin \varphi d\omega }{dt}},\\r=&{\frac {d\varphi +\cos \omega d\psi }{dt}}\,;\end{aligned}}$

donc ($dt$ étant toujours constant)

${\begin{aligned}\delta \mathrm {T} =&+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}q-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}p\right)\delta \varphi +{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}{\frac {\delta d\varphi }{dt}}\\&+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\sin \varphi \sin \omega \,+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\cos \varphi \sin \omega +{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\cos \omega \right){\frac {\delta d\psi }{dt}}\\&+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\sin \varphi \cos \omega +{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\cos \varphi \cos \omega -{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\sin \omega \right){\frac {d\psi \delta \omega }{dt}}\\&+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\cos \varphi -{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\sin \varphi \right){\frac {\delta d\omega }{dt}}\,;\end{aligned}}$