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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

d’où l’on aura sur-le-champ, pour le mouvement de rotation du corps, ces trois équations du second ordre

${\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}}{dt}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}q+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}p+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}=0,$

${\frac {d\left({\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\sin \varphi \sin \omega +{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\cos \varphi \sin \omega +{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\cos \omega \right)}{dt}}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}=0,$

${\frac {d\left({\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\cos \varphi -{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\sin \varphi \right)}{dt}}-\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\sin \varphi \cos \omega +{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\cos \varphi \cos \omega -{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\sin \omega \right){\frac {d\psi }{dt}}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \omega }}=0.$

À l’égard de la quantité $\mathrm {V} ,$ comme elle dépend des forces qui sollicitent le corps, elle sera nulle si le corps n’est animé par aucune force ; ainsi, dans ce cas, les trois quantités ${\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }},\,{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }},\,{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \omega }}$ seront nulles aussi, et la seconde des trois équations précédentes sera intégrable d’elle-même mais l’intégration générale de toutes ces équations restera encore fort difficile.

En général, puisque $\mathrm {V} =$_S$\Pi \operatorname {D} m,$ et que $\Pi$ est une fonction algébrique des distances ${\bar {p}},\,{\bar {q}},\ldots$ (art. 18), dont chacune est exprimée par

${\sqrt {(x-f)^{2}+(y-g)^{2}+(z-h)^{2}}},$

en désignant par $f,\,g,\,h$ les coordonnées du centre fixe des forces, il n’y aura qu’à faire dans la fonction $\Pi$ les mêmes substitutions que ci-dessus, et, après avoir intégré relativement à toute la masse du corps, on aura l’expression de $\mathrm {V}$ en $\varphi ,\,\psi ,\,\omega ,$ d’où l’on tirera par la différentiation ordinaire les valeurs de ${\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }},\,{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }},\,{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \omega }},$ qui sont les mêmes que celles de ${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \varphi }},\,{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \psi }},\,{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \omega }}.$ Comme ceci n’a point de difficulté, nous ne nous y arrêterons point ; nous remarquerons seulement que les équations précédentes reviennent à celles que j’ai employées dans mes premières recherches sur la libration de la Lune.