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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

22^[1]. Quoique l’emploi des angles $\varphi ,\,\psi ,\,\omega ,$ paraisse être ce qu’il y a de plus simple pour trouver par notre méthode les équations de la rotation du corps, on peut néanmoins parvenir encore plus directement au but, et obtenir même des formules plus élégantes et plus commodes pour le calcul dans plusieurs cas, en considérant immédiatement les variations des quantités $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R}$ données par les formules de l’article 15, savoir

${\begin{aligned}\delta \,d\mathrm {P} =&d\,\delta \mathrm {P} +d\mathrm {Q} \delta \mathrm {R} -d\mathrm {R} \delta \mathrm {Q} ,\\\delta \,d\mathrm {Q} =&d\,\delta \mathrm {Q} +d\mathrm {R} \delta \mathrm {P} -d\mathrm {P} \delta \mathrm {R} ,\\\delta \,d\mathrm {R} =&d\,\delta \mathrm {R} +d\mathrm {P} \delta \mathrm {Q} -d\mathrm {Q} \delta \mathrm {P} \,;\end{aligned}}$

substituant ces valeurs dans $\delta \mathrm {T}$ et mettant $p,\,q,\,r$ pour ${\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial t}},\,{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial t}},\,{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial t}},$ on aura

${\begin{aligned}\delta \mathrm {T} =&+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\left({\frac {d\,\delta \mathrm {P} }{dt}}+q\delta \mathrm {R} -r\delta \mathrm {Q} \right)\\&+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\left({\frac {d\,\delta \mathrm {Q} }{dt}}+r\delta \mathrm {P} -p\delta \mathrm {R} \right)\\&+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\left({\frac {d\,\delta \mathrm {R} }{dt}}+p\delta \mathrm {Q} -q\delta \mathrm {P} \right).\end{aligned}}$

Quant aux termes relatifs à la variation de $\mathrm {V} ,$ puisque $\mathrm {V}$ devient une fonction algébrique de $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',\,\eta ',\ldots ,$ après la substitution de $x'+a\xi '+b\xi ''+c\xi ''',$ $y'+a\eta '+b\eta ''+c\eta ''',$ $z'+a\zeta '+b\zeta ''+c\zeta '''$ au lieu de $x,\,y,\,z,$ le signe intégral _S n’ayant rapport qu’aux quantités $a,\,b,\,c,$ il n’y aura qu’à différentier par $\delta$ et mettre ensuite pour $\delta \xi ',\,\delta \xi '',\ldots$ leurs valeurs en $\mathrm {\delta P,\,\delta Q,\,\delta R} \,;$ ainsi, puisque

${\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi '}}={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}},\quad {\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi ''}}={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}},\quad \ldots ,$

1. Ce paragraphe est un de ceux qui n’ont pas été reproduits tels qu’ils étaient dans la première édition ; les résultats auxquels on parvient sont absolument les mêmes, mais la rédaction est simplifiée par le renvoi à l’article 15, qui ne se trouvé pas dans la première édition. (J. Bertrand)