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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

on aura dans la même équation les termes suivants provenant de $\delta \mathrm {V}$ :

${\begin{aligned}&{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}(\xi ''\delta \mathrm {R} -\xi '''\delta \mathrm {Q} )+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}(\xi '''\delta \mathrm {P} -\xi '\delta \mathrm {R} )\\&{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '''}}(\xi '\delta \mathrm {Q} -\xi ''\delta \mathrm {P} )+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}(\eta ''\delta \mathrm {R} -\eta '''\delta \mathrm {Q} )\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc enfin, rassemblant tous les termes multipliés par chacune des trois quantités $\mathrm {\delta P,\,\delta Q,\,\delta R} ,$ on aura une équation générale de cette forme

$\mathrm {(P)\delta P+(Q)\delta Q+(R)\delta R} =0,$

dans laquelle

${\begin{alignedat}{2}(\mathrm {P} )=&{\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}}{dt}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}-r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}&+\xi '''{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}&+\eta '''{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta ''}}+\zeta '''{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta ''}}\\&&-\xi ''{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '''}}&-\eta ''{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '''}}-\zeta ''{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '''}},\\(\mathrm {Q} )=&{\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}}{dt}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}-p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}&+\xi '{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '''}}&+\eta '{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '''}}+\zeta '{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '''}}\\&&-\xi '''{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}&-\eta '''{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}-\zeta '''{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '}},\\(\mathrm {R} )=&{\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}}{dt}}+p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}-q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}&+\xi ''{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}&+\eta ''{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}+\zeta ''{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta '}}\\&&-\xi '{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}}&-\eta '{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta ''}}-\zeta '{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \zeta ''}}.\end{alignedat}}$

Et, comme les trois quantités $\mathrm {\delta P,\,\delta Q,\,\delta R}$ sont indépendantes entre elles, et en même temps arbitraires, on aura donc ces trois équations particulières

$(\mathrm {P} )=0,\qquad (\mathrm {Q} )=0,\qquad (\mathrm {R} )=0,$

lesquelles, étant combinées avec les six équations de condition entre les neuf variables $\xi ',\,\xi '',\ldots$ (art. 5), serviront à déterminer chacune de ces variables.

On peut mettre, si l’on veut, sous une forme plus simple les termes de ces équations dépendants de la quantité $\mathrm {V} .$ Car, puisque $\mathrm {V} =$_S$\Pi \operatorname {D} m,$