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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

on aura (à cause que le signe _S ne regarde point les variables $\xi ',\xi '',\ldots$)

$\xi ''{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}}=$_S$\xi ''{\frac {\partial \Pi }{\partial \xi '}}\operatorname {D} m,$     $\eta ''{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \eta '}}=$_S$\eta ''{\frac {\partial \Pi }{\partial \eta '}}\operatorname {D} m,$    $\ldots \,;$

et comme $\Pi$ est une fonction algébrique de

$a\xi '+b\xi ''+c\xi ''',\qquad a\eta '+b\eta ''+c\eta ''',\quad a\zeta '+b\zeta ''+c\zeta ''',$

il est aisé de voir qu’en faisant varier séparément $a,b,c,$ on aura

$\xi '''{\frac {\partial \Pi }{\partial \xi ''}}+\eta '''{\frac {\partial \Pi }{\partial \eta ''}}+\zeta '''{\frac {\partial \Pi }{\partial \zeta ''}}=b{\frac {\partial \Pi }{\partial c}},\quad \xi ''{\frac {\partial \Pi }{\partial \xi '''}}+\eta ''{\frac {\partial \Pi }{\partial \eta '''}}+\zeta ''{\frac {\partial \Pi }{\partial \zeta '''}}=c{\frac {\partial \Pi }{\partial b}},$

et ainsi de suite ; de sorte qu’on aura, de cette manière,

$\mathrm {\xi '''{\frac {\partial V}{\partial \xi ''}}+\eta '''{\frac {\partial V}{\partial \eta ''}}+\zeta '''{\frac {\partial V}{\partial \zeta ''}}-\xi ''{\frac {\partial V}{\partial \xi '''}}-\eta ''{\frac {\partial V}{\partial \eta '''}}-\zeta ''{\frac {\partial V}{\partial \zeta '''}}} =$

_S$\left(b{\frac {\partial \Pi }{\partial c}}-c{\frac {\partial \Pi }{\partial b}}\right)\operatorname {D} m,$

$\mathrm {\xi '{\frac {\partial V}{\partial \xi '''}}+\eta '{\frac {\partial V}{\partial \eta '''}}+\zeta '{\frac {\partial V}{\partial \zeta '''}}-\xi '''{\frac {\partial V}{\partial \xi '}}-\eta '''{\frac {\partial V}{\partial \eta '}}-\zeta '''{\frac {\partial V}{\partial \zeta '}}} =$

_S$\left(c{\frac {\partial \Pi }{\partial a}}-a{\frac {\partial \Pi }{\partial c}}\right)\operatorname {D} m,$

$\mathrm {\xi ''{\frac {\partial V}{\partial \xi '}}+\eta ''{\frac {\partial V}{\partial \eta '}}+\zeta ''{\frac {\partial V}{\partial \zeta '}}-\xi '{\frac {\partial V}{\partial \xi ''}}-\eta '{\frac {\partial V}{\partial \eta ''}}-\zeta '{\frac {\partial V}{\partial \zeta ''}}} =$

_S$\left(a{\frac {\partial \Pi }{\partial b}}-b{\frac {\partial \Pi }{\partial a}}\right)\operatorname {D} m.$

Mais, si cette transformation simplifie les formules, elle ne simplifie pas le calcul, parce qu’au lieu de l’intégration unique contenue dans $\mathrm {V} ,$ on en aura trois à exécuter.

23. Lorsque les distances des centres des forces au centre du corps sont très grandes vis-à-vis des dimensions de ce corps, on peut alors réduire la quantité $\Pi$ en une série fort convergente de termes proportionnels aux puissances et aux produits de $a,\,b,\,c,$ de sorte que l’intégration _S$\Pi \operatorname {D} m$ n’aura aucune difficulté c’est le cas des planètes, en tant qu’elles s’attirent mutuellement.

Si la force attractive $\mathrm {\overline {P}}$ est simplement proportionnelle à la distance ${\bar {p}},$ en sorte que $\mathrm {\overline {P}} =k{\bar {p}},$ $k$ étant un coefficient constant, le terme $\int {\overline {\mathrm {P} }}d{\bar {p}}$ de la fonction $\Pi$ (art. 18) devient $={\frac {k{\bar {p}}^{2}}{2}},$ et, comme ${\bar {p}}$ est exprimé, en général, par ${\sqrt {(x-f)^{2}+(y-g)^{2}+(z-h)^{2}}},$ en dési-