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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
on aura (à cause que le signe S ne regarde point les variables
)
S
S
et comme
est une fonction algébrique de
![{\displaystyle a\xi '+b\xi ''+c\xi ''',\qquad a\eta '+b\eta ''+c\eta ''',\quad a\zeta '+b\zeta ''+c\zeta ''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17092457016ef8878557172accf424c3ded02088)
il est aisé de voir qu’en faisant varier séparément
on aura
![{\displaystyle \xi '''{\frac {\partial \Pi }{\partial \xi ''}}+\eta '''{\frac {\partial \Pi }{\partial \eta ''}}+\zeta '''{\frac {\partial \Pi }{\partial \zeta ''}}=b{\frac {\partial \Pi }{\partial c}},\quad \xi ''{\frac {\partial \Pi }{\partial \xi '''}}+\eta ''{\frac {\partial \Pi }{\partial \eta '''}}+\zeta ''{\frac {\partial \Pi }{\partial \zeta '''}}=c{\frac {\partial \Pi }{\partial b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7b6b1b2cd19e28163214b748bd84358ad4e483)
et ainsi de suite ; de sorte qu’on aura, de cette manière,
![{\displaystyle \mathrm {\xi '''{\frac {\partial V}{\partial \xi ''}}+\eta '''{\frac {\partial V}{\partial \eta ''}}+\zeta '''{\frac {\partial V}{\partial \zeta ''}}-\xi ''{\frac {\partial V}{\partial \xi '''}}-\eta ''{\frac {\partial V}{\partial \eta '''}}-\zeta ''{\frac {\partial V}{\partial \zeta '''}}} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac1536aafd96e01418745d4569951b0add891bd)
S![{\displaystyle \left(b{\frac {\partial \Pi }{\partial c}}-c{\frac {\partial \Pi }{\partial b}}\right)\operatorname {D} m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b5adb5d5fa71c579fdb4ed221db32308b9f9d0)
![{\displaystyle \mathrm {\xi '{\frac {\partial V}{\partial \xi '''}}+\eta '{\frac {\partial V}{\partial \eta '''}}+\zeta '{\frac {\partial V}{\partial \zeta '''}}-\xi '''{\frac {\partial V}{\partial \xi '}}-\eta '''{\frac {\partial V}{\partial \eta '}}-\zeta '''{\frac {\partial V}{\partial \zeta '}}} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def16359b6302a01c3ae1aba7c3b5e99adeb401d)
S![{\displaystyle \left(c{\frac {\partial \Pi }{\partial a}}-a{\frac {\partial \Pi }{\partial c}}\right)\operatorname {D} m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6b07f66ad6e58ac8a45ec0131e22061d2f3864)
![{\displaystyle \mathrm {\xi ''{\frac {\partial V}{\partial \xi '}}+\eta ''{\frac {\partial V}{\partial \eta '}}+\zeta ''{\frac {\partial V}{\partial \zeta '}}-\xi '{\frac {\partial V}{\partial \xi ''}}-\eta '{\frac {\partial V}{\partial \eta ''}}-\zeta '{\frac {\partial V}{\partial \zeta ''}}} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb5af016414899da0a9dc505eef076aab490197)
S![{\displaystyle \left(a{\frac {\partial \Pi }{\partial b}}-b{\frac {\partial \Pi }{\partial a}}\right)\operatorname {D} m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda2f33c3fe85ed413270ee15533c1503c77909c)
Mais, si cette transformation simplifie les formules, elle ne simplifie pas le calcul, parce qu’au lieu de l’intégration unique contenue dans
on en aura trois à exécuter.
23. Lorsque les distances des centres des forces au centre du corps sont très grandes vis-à-vis des dimensions de ce corps, on peut alors réduire la quantité
en une série fort convergente de termes proportionnels aux puissances et aux produits de
de sorte que l’intégration S
n’aura aucune difficulté c’est le cas des planètes, en tant qu’elles s’attirent mutuellement.
Si la force attractive
est simplement proportionnelle à la distance
en sorte que
étant un coefficient constant, le terme
de la fonction
(art. 18) devient
et, comme
est exprimé, en général, par
en dési-