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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

$d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R}$ et faisant $a,\,b,\,c$ constants,

${\frac {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}}{dt^{2}}}=(cq-br)^{2}+(ar-cp)^{2}+(bp-aq)^{2}.$

Ainsi voilà trois équations d’où l’on pourra tirer les valeurs de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ moyennant une seule intégration.

Ensuite, si l’on voulait connaître séparément les valeurs de $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',$ $\xi '',\ldots ,$ il n’y aurait qu’à supposer, dans les expressions générales de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ les constantes

$a=1,\,b=1,\,c=1,\qquad {\text{ou}}\qquad a=0,\,b=1,\,c=0,\qquad {\text{ou}}\qquad a=0,\,b=0,\,c=1.$

Supposons, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {L} \ =&a{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+b{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+c{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}},\\\mathrm {M} =&a^{2}+b^{2}+c^{2},\\\mathrm {N} \,=&(cq-br)^{2}+(ar-cp)^{2}+(bp-aq)^{2}\,;\end{aligned}}$

on aura donc à résoudre ces trois équations

${\begin{aligned}l\xi \ \ \,+m\eta +n\zeta \ \ \,=&\mathrm {L} ,\\\xi ^{2}\ \ +\eta ^{2}\ \ +\zeta ^{2}\ \ \ =&\mathrm {M} ,\\{\frac {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}}{dt^{2}}}=&\mathrm {N} ,\end{aligned}}$

dans lesquelles $\mathrm {M}$ est une constante donnée, $\mathrm {L,\,N}$ sont supposées connues en fonction de $t,$ et $l,\,m,\,n$ sont des constantes arbitraires.

J’observe d’abord que, si $l$ et $m$ étaient nulles à la fois, la première équation donnerait

$\zeta ={\frac {\mathrm {L} }{n}}\,;$

et, cette valeur étant substituée dans les deux autres, on aurait

$\xi ^{2}+\eta ^{2}=\mathrm {M} -{\frac {\mathrm {L} ^{2}}{n^{2}}},\qquad {\frac {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {N} -{\frac {d\mathrm {L} ^{2}}{n^{2}dt^{2}}},$

équations très faciles à intégrer, en faisant $\xi =\rho \cos \theta ,\ \eta =\rho \sin \theta ,$ ce