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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

qui les change en ces deux-ci

$\rho ^{2}=\mathrm {M} -{\frac {\mathrm {L} ^{2}}{n^{2}}},\qquad {\frac {\rho ^{2}d\theta ^{2}+d\rho ^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {N} -{\frac {d\mathrm {L} ^{2}}{n^{2}dt^{2}}},$

dont la première donnera la valeur de $\eta ,$ et la seconde donnera l’angle $\theta$ par l’intégration de cette formule

$d\theta ={\frac {dt}{\rho }}{\sqrt {\mathrm {N} -{\frac {d\mathrm {L} ^{2}}{n^{2}dt^{2}}}-{\frac {d\rho ^{2}}{dt^{2}}}}}.$

Supposons maintenant que $l$ et $m$ ne soient pas nulles, et voyons comment on peut réduire ce cas au précédent. Il est clair que, si l’on fait

$l\xi +m\eta =x{\sqrt {l^{2}+m^{2}}},\qquad m\xi -l\eta =y{\sqrt {l^{2}+m^{2}}},$

on aura également

$\xi ^{2}+\eta ^{2}=x^{2}+y^{2}\qquad {\text{et}}\qquad d\xi ^{2}+d\eta ^{2}=dx^{2}+dy^{2}\,;$

ainsi les équations proposées se réduiront d’abord à cette forme

${\begin{aligned}x{\sqrt {l^{2}+m^{2}}}\,+n\zeta \,\ \ =&\mathrm {L} ,\\x^{2}+y^{2}\ \ +\zeta ^{2}\ \ \ =&\mathrm {M} ,\\{\frac {dx^{2}+dy^{2}+d\zeta ^{2}}{dt^{2}}}=&\mathrm {N} .\end{aligned}}$

Si l’on fait ensuite

${\begin{aligned}x{\sqrt {l^{2}+m^{2}}}+n\zeta =&z{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}},\\ux-\zeta {\sqrt {l^{2}+m^{2}}}=&u{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}},\end{aligned}}$

on aura encore

$x^{2}+\zeta ^{2}=z^{2}+u^{2}\qquad {\text{et}}\qquad dx^{2}+d\zeta ^{2}=dz^{2}+du^{2}\,;$

donc on aura ces transformées

${\begin{aligned}z{\sqrt {l^{2}+\,m^{2}+n^{2}}}\ \ \,=&\mathrm {L} ,\\u^{2}+\ \ y^{2}+z^{2}\ \ \ =&\mathrm {M} ,\\{\frac {du^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}=&\mathrm {N} ,\end{aligned}}$

qui sont, comme l’on voit, entièrement semblables à celles que nous