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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

venons de résoudre ci-dessus ; en sorte qu’on aura pour $u,\,y,\,z$ les mêmes expressions que nous avons trouvées pour $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ en y changeant seulement $n$ en ${\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}.$

Ces valeurs étant connues, on aura les valeurs générales de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ par les formules

$\xi ={\frac {lx+my}{\sqrt {l^{2}+m^{2}}}},\qquad \eta ={\frac {mx-ly}{\sqrt {l^{2}+m^{2}}}},\qquad \zeta ={\frac {nz-u{\sqrt {l^{2}+m^{2}}}}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}.$

31. Telle est, si je ne me trompe, la solution la plus générale et en même temps la plus simple qu’on puisse donner du fameux problème du mouvement de rotation des corps libres ; elle est analogue à celle que j’ai donnée dans les Mémoires de l’Académie de Berlim pour 1773^[1], mais elle est en même temps plus directe et plus simple à quelques égards. Dans celle-là, je suis parti de trois équations intégrales qui répondent aux équations (D) de l’article 29 ci-dessus, équations qui m’avaient été fournies directement par le principe connu des aires et des moments, et auxquelles j’avais joint l’équation des forces vives $\mathrm {T} =h^{2}$ (art. 24). Ici, j’ai déduit toute la solution des trois équations différentielles primitives, et je crois avoir mis dans cette solution toute la clarté et, si j’ose le dire, toute l’élégance dont elle est susceptible ; par cette raison, je me flatte qu’on ne me désapprouvera pas d’avoir traité de nouveau ce problème, quoiqu’il ne soit guère que de pure curiosité, surtout si, comme je n’en doute pas, il peut être de quelque utilité à l’avancement de l’Analyse.

Ce qu’il y a, ce me semble, de plus remarquable dans la solution précédente, c’est l’emploi qu’on y fait des quantités $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',\,\xi '',\ldots ,$ sans connaître leurs valeurs, mais seulement les équations de condition auxquelles elles sont soumises, quantités qui disparaissent à la fin tout à fait du calcul ; je ne doute pas que ce genre d’analyse ne puisse aussi être utile dans d’autres occasions.

Au reste, si cette solution est un peu longue, on ne doit l’imputer qu’à

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 579. (G. D.)