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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

et

$\xi '^{2}+\xi ''^{2}=1,\qquad \eta '^{2}+\eta ''^{2}=1,\qquad \xi '\eta '+\xi ''\eta ''=0\,;$

donc

$\xi '=\sin \varpi ,\quad \xi ''=\cos \varpi ,\quad \eta '=\sin \theta ,\quad \eta ''=\cos \theta \quad {\text{et}}\quad \cos(\varpi -\theta )=0\,;$

d’où

$\varpi =90^{\circ }+\theta$

et par conséquent

$\xi '=\cos \theta ,\quad \xi ''=-\sin \theta .$

Substituant ces valeurs dans les expressions de $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R}$ de l’article 11, on aura

$d\mathrm {P} =\zeta 'd\theta +d\zeta '',\quad d\mathrm {Q} =\zeta ''d\theta -d\zeta ',\quad d\mathrm {R} =d\theta ,$

en négligeant toujours les quantités du second ordre.

Ainsi donc on aura

${\begin{aligned}p=&{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}={\frac {\zeta 'd\theta +d\zeta ''}{dt}},\\q=&{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}={\frac {\zeta ''d\theta -d\zeta '}{dt}},\\r=&{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}={\frac {d\theta }{dt}},\end{aligned}}$

valeurs qui, étant substituées dans les équations différentielles ci-dessus, donneront, en négligeant les puissances et les produits de $\zeta ',\,\zeta '',$ des équations linéaires pour la détermination de ces variables.

Mais, avant de faire ces substitutions, on remarquera qu’en supposant $\zeta '$ et $\zeta ''$ nuls, les équations dont il s’agit donneront

$-\mathrm {G} {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\mathrm {F} {\frac {d\theta ^{2}}{dt^{2}}}=0,\qquad -\mathrm {F} {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}-\mathrm {G} {\frac {d\theta ^{2}}{dt^{2}}}=0,\qquad \mathrm {C} {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=0.$

Donc, puisque $\mathrm {C}$ ne saurait devenir nul, à moins que le corps ne se réduise à une ligne physique, $\mathrm {C}$ étant _S$\left(a^{2}+b^{2}\right)\operatorname {D} m,$ il s’ensuit qu’on ne peut satisfaire à ces équations qu’en faisant ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=0,$ et ensuite, ou ${\frac {d\theta }{dt}}=0,$ ou $\mathrm {F} =0$ et $\mathrm {G} =0.$

De là il est facile de conclure que, lorsque $\zeta '$ et $\zeta ''$ ne sont pas nuls,